Критерий Гурвица

Критерий Гурвица — один из методов принятия решений в условиях неопределённости, который предлагает сбалансированный подход между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом.

Суть критерия

При выборе стратегии в ситуации, когда исход событий неизвестен, критерий Гурвица предлагает учитывать одновременно:

• наихудший возможный результат (пессимистический подход),
• наилучший возможный результат (оптимистический подход).

Для этого используется специальный параметр — коэффициент оптимизма, который принимает значение от нуля до единицы.Чем ближе коэффициент к единице, тем больше внимание уделяется наилучшим исходам; чем ближе он к нулю, тем больше учитываются наихудшие возможные результаты.

Математическая формулировка

Пусть заданы:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество доступных стратегий (альтернатив).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество возможных состояний природы.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция выигрыша (полезности) при выборе стратегии $s_i$ и наступлении состояния ${\theta }_j$. Часто представляется платёжной матрицей $A=[a_{ij}]$, где $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерий Гурвица вводит коэффициент оптимизма $\alpha$ (альфа), который выбирается лицом, принимающим решение (ЛПР), в диапазоне $0\le \alpha \le 1$. Этот коэффициент отражает степень оптимизма ЛПР:

• $\alpha =1$ соответствует полному оптимизму (учитывается только наилучший возможный исход).
• $\alpha =0$ соответствует полному пессимизму (учитывается только наихудший возможный исход, критерий сводится к критерию Вальда).
• Значение $(1-\alpha )$ можно интерпретировать как коэффициент пессимизма.

Процедура применения критерия Гурвица:

1. Нахождение минимального и максимального выигрыша для каждой стратегии: Для каждой стратегии $s_i\in S$ определяются:

   **Наихудший исход (минимальный выигрыш):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Наилучший исход (максимальный выигрыш):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Расчет значения критерия Гурвица для каждой стратегии: Для каждой стратегии $s_i$ вычисляется взвешенное значение, комбинирующее лучший и худший исходы с учетом коэффициента оптимизма $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Это значение представляет собой ожидаемый выигрыш стратегии $s_i$ согласно предпочтениям ЛПР, выраженным через $\alpha$.

1. Выбор оптимальной стратегии: Выбирается та стратегия $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$, которая максимизирует рассчитанное значение критерия Гурвица:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

Оптимальное значение критерия Гурвица (гарантированный уровень с учетом оптимизма $\alpha$) равно: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Замечание о функции потерь

Если используется функция потерь $L(s_i,{\theta }_j)$, которую нужно минимизировать, то критерий Гурвица применяется для минимизации взвешенной комбинации наилучшего (минимальные потери) и наихудшего (максимальные потери) исходов:

1. Для каждой стратегии $s_i$ находятся минимальные $L_i^{\min }$ и максимальные $L_i^{\max }$ потери.
2. Рассчитывается значение: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. Выбирается стратегия, минимизирующая это значение: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Здесь $\alpha$ по-прежнему коэффициент оптимизма: при $\alpha =1$ ЛПР фокусируется на минимизации минимальных потерь (оптимистично надеется на лучший исход), при $\alpha =0$ — на минимизации максимальных потерь (пессимистично готовится к худшему).

Применение критерия

Процесс применения критерия Гурвица включает следующие шаги:

1. Определяются минимальный и максимальный результаты для каждой возможной стратегии.
2. Для каждой стратегии рассчитывается итоговая оценка, которая представляет собой взвешенное значение между её худшим и лучшим исходами, в зависимости от выбранного уровня оптимизма.
3. Выбирается та стратегия, у которой итоговая оценка максимальна.

Таким образом, лицо, принимающее решение, выбирает стратегию, которая наилучшим образом учитывает его собственное отношение к риску и неопределённости.

Преимущества и недостатки

Преимущества:

• Позволяет адаптировать процесс выбора в зависимости от характера и предпочтений лица, принимающего решение.
• Учитывает как риск, так и потенциальные выгоды.

Недостатки:

• Требует субъективного выбора коэффициента оптимизма, что может повлиять на объективность решения.