Критерий Вальда

Критерий Вальда — один из основных методов принятия решений в условиях неопределённости. Он основан на принципе крайнего пессимизма и направлен на выбор стратегии, которая обеспечивает наилучший результат в наихудшем возможном сценарии.

Суть критерия

Критерий предполагает, что лицо, принимающее решение, ориентируется на самый неблагоприятный исход для каждой стратегии. Для каждой альтернативы определяется её худший возможный результат. Из всех стратегий выбирается та, у которой этот худший результат — наилучший среди всех.

Иными словами, критерий Вальда направлен на минимизацию максимальных потерь и обеспечивает наибольшую защиту от неблагоприятных условий.

Применение критерия

Процесс применения включает следующие шаги:

1. Для каждой стратегии определяется наихудший возможный результат.
2. Сравниваются худшие результаты всех стратегий.
3. Выбирается стратегия с наилучшим из наихудших исходов.

Этот подход характерен для крайне осторожных лиц, стремящихся минимизировать риски независимо от вероятности наступления различных исходов.

Математическая формулировка

Пусть заданы:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — множество доступных стратегий (альтернатив), из которых выбирает лицо, принимающее решение (ЛПР).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — множество возможных состояний природы (внешних условий, сценариев), не зависящих от выбора ЛПР.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — функция выигрыша (полезности), представляющая собой числовую оценку результата при выборе стратегии $s_i\in S$ и наступлении состояния природы ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. Часто представляется в виде платёжной матрицы $A=[a_{ij}]$, где $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Критерий Вальда (или максиминный критерий) предписывает следующий порядок действий:

1. Нахождение минимального выигрыша для каждой стратегии: Для каждой стратегии $s_i$ определяется её наихудший возможный исход (минимальный выигрыш) по всем возможным состояниям природы:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Выбор стратегии с максимальным из минимальных выигрышей: Выбирается та стратегия $s_{\text{Wald}}^{*}$, которая обеспечивает наибольшее значение среди найденных минимальных выигрышей:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Гарантированный (минимальный) уровень выигрыша при использовании критерия Вальда равен: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Таким образом, критерий Вальда реализует принцип максимина — максимизацию минимального выигрыша. Он ориентирован на пессимистичный взгляд, предполагая, что какое бы решение ни было принято, природа ответит наименее благоприятным для ЛПР образом.

Замечание о функции потерь

Если вместо функции выигрыша $u(s_i,{\theta }_j)$ используется функция потерь $L(s_i,{\theta }_j)$, которую требуется минимизировать, то критерий Вальда превращается в критерий минимакса потерь:

1. Для каждой стратегии $s_i$ находится максимальное значение потерь: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Выбирается стратегия, минимизирующая эти максимальные потери: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Преимущества и недостатки

Преимущества:

• Простота и чёткость метода.
• Обеспечение высокой степени безопасности решений в условиях полной неопределённости.

Недостатки:

• Чрезмерный пессимизм: возможные высокие выгоды игнорируются ради минимизации потерь.
• Может приводить к выбору слишком консервативных стратегий.