Современные системные исследования включают в себя многочисленные направления от философского анализа принципа системности и категории системы до изучения конкретных биологических, социально-экономических и других систем. При разработке общих принципов системного подхода целесообразно использовать опыт исследования систем, накопленный разными науками. В настоящей статье предпринимается попытка анализа применения системного подхода в математике.
Математические системы
Когда математик знакомится с идеей системного подхода и его методологией, он обнаруживает существенное сходство некоторых методологических проблем математики и системного подхода, обусловленное тем обстоятельством, что среди математических объектов есть такие, которые могут быть отнесены к системам при том истолковании этого термина, которое принято в системных исследованиях.
Под математической системой мы будем понимать такой математический объект, который характеризуется сложным внутренним строением и допускает многообразные способы анализа, причем сущность этого объекта в целом не сводится ни к какому конкретному способу его исследования. Анализ системы включает, в частности, представление ее в виде множества элементов, выделение в ней различных математических структур. Системный подход к исследованию того или иного объекта как системы состоит в рассмотрении его во всем многообразии его внутренних свойств и отношений (в том числе, возможно, еще не выявленных) или в рассмотрении его внутри некоторой системы.
Большинство известных определений понятия системы самым непосредственным образом сводят его к понятию множества. Например, Л. фон Берталанфи пишет: «Система может быть определена как совокупность элементов, находящихся в определенных отношениях друг с другом и со средой» [1, с. 29]. Другие авторы также обычно определяют систему как множество взаимосвязанных или взаимодействующих элементов. Возможно, при рассмотрении реальных систем не так существенно употребление термина «множество», ибо никому не придет в голову рассматривать типичные теоретико-множественные вопросы применительно, скажем, к множеству атомов или клеток, составляющих живой организм, или множеству людей, составляющих производственный коллектив. Действительно, почти любой сторонник системного подхода согласится считать живой организм системой. Однако с каким множеством отождествить эту систему? Во всяком случае здесь не годится, например, множество атомов или множество клеток, из которых состоит этот организм. Точно так же производственный коллектив, рассматриваемый как система, нельзя отождествлять просто с множеством входящих в него людей.
Отождествление систем с множествами оказывается еще более неприемлемым при рассмотрении математических систем, так как при этом сущность понятия системы, так сказать, уничтожается в зародыше. Поэтому наша концепция математической системы будет отличаться от той, которая нашла свое выражение в так называемой математической теории систем, развиваемой М. Месаровичем [4] и другими авторами. Точка зрения авторов ближе к высказываемой Ю. А. Шрейдером: «Мы будем рассматривать систему не как „множество", составленное из готовых элементов, а как целостный объект, допускающий принципиально различные членения (быть может, даже бесконечное число членений) и, вообще говоря, не тождественный этим членениям» [6, с. 226].
В силу сказанного выше примерами математических систем могут служить такие математические объекты, которые характеризуются сложной внутренней структурой, и эта сложность учитывается при их исследовании. В качестве одного из типов математических систем можно указать числовые системы. Например, система действительных чисел — это объект, допускающий многообразные способы анализа. С самого начала эта система дается нам как множество действительных чисел. Это низшая ступень анализа системы. Теоретико-множественное рассмотрение системы действительных чисел позволяет, например, установить, что действительных чисел существенно больше, чем рациональных, так как множество действительных чисел несчетно, а рациональные числа образуют его счетное подмножество. Дальнейшие шаги в исследовании этой системы состоят в выявлении в ней различных математических структур. Например, система действительных чисел может рассматриваться как упорядоченное множество. Тогда обнаруживается, что линейно упорядоченное множество действительных чисел непрерывно в том смысле, что его нельзя разбить на два непустых непересекающихся множества А и В, где А состоит из тех а, для которых x <= a для всех x из В, а В состоит из тех b, для которых b < x для всех x из А. Это упорядоченное множество содержит плотное в нем упорядоченное множество рациональных чисел, т. е. между любыми двумя действительными числами лежит по крайней мере одно рациональное число. Наконец, приняв во внимание, что над действительными числами можно совершать арифметические действия, мы можем представлять систему действительных чисел как архимедово упорядоченное поле. Алгебраическое исследование этой структуры позволяет, например, рассматривать систему действительных чисел как расширение системы рациональных чисел, полученное некоторой алгебраической конструкцией, а именно как поле классов вычетов по модулю идеала сходящихся к нулю последовательностей в кольце фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Здесь мы имеем по существу уже иное членение данной системы на элементы, ибо каждый класс вычетов сам по себе имеет некоторую теоретико-множественную структуру и, строго говоря, не может отождествляться с другим представлением того же числа при каком-либо другом подходе к определению действительного числа, например как сечения в области рациональных чисел.
Очевидно, что, кроме отношения <= на множестве действительных чисел и арифметических действий над числами, в принципе возможны выявление и изучение каких-то других отношений, внутренне присущих системе действительных чисел. Поэтому «множество действительных чисел», «архимедово упорядоченное поле», «линейно упорядоченное множество действительных чисел» — это лишь некоторые частные аспекты системы, и хотя их изучение служит познанию системы действительных чисел, они не исчерпывают всего многообразия характеристик того сложного объекта, который мы назвали системой.
Если при образовании числовых систем первичную роль играют отдельные элементы — числа, т. е. некоторая декомпозиция таких систем на элементы задана с самого начала, то геометрические системы, возникающие из абстрактного рассмотрения реального физического пространства, характеризуются первичной целостностью. Действительно, отдельно взятая точка пространства, вне связи с другими геометрическими объектами, теряет свою индивидуальность, т. е. не может рассматриваться иначе как в геометрической системе. Отметим, что в практике геометрических исследований декомпозиция геометрического пространства на континуум отдельных точек почти никогда не играла существенной роли.
Системный характер геометрического пространства проявляется, например, в геометрии Евклида. Хотя евклидова геометрия представляет собой аксиоматическую теорию, пространство в ней все же мыслится как существующее независимо от аксиом, которые выступают лишь как явно сформулированные его свойства. Здесь в отличие от современных формальных аксиоматик геометрическое пространство не подменяется совокупностью представлений о нем, зафиксированных в аксиомах. Рассуждая о точках, прямых, плоскостях, древний геометр имел в виду то, как эти объекты представляются ему, а не только то, что говорится о них в аксиомах. С этим связано, в частности, использование Евклидом в процессе доказательств чертежей и положений, не сформулированных явно в виде аксиом. Работа по выявлению скрытых допущений, использованных Евклидом, была завершена лишь в конце ХІХ в. Д. Гильбертом.
Приведенные примеры должны были в какой-то мере способствовать разъяснению наших представлений о математических системах. С этой же целью будет уместно рассмотреть взаимосвязь и различие неформализованного понятия математической системы и других достаточно точных математических понятий, тесно связанных с понятием системы. К их числу в первую очередь относятся понятия «множество» и «математическая структура».
Системы и структуры
В основе системных рассмотрений лежат ставший привычным для математики переход от изучения отдельных объектов к образованию множеств объектов и декомпозиция целостного объекта на элементы, представление его в виде множества. Этот прием нашел обоснование в теории множеств, которая исследует общие свойства совокупностей объектов независимо от того, какие причины побудили рассматривать ту или иную совокупность как один объект. Аппарат и язык теории множеств играют существенную роль в исследовании математических (и не только математических) систем. Однако теоретико-множественные рассмотрения представляют собой самую низкую ступень исследования системы. С точки зрения теории множеств система, представленная в виде совокупности элементов, и любое другое, быть может случайное, объединение некоторых объектов в одну совокупность не различаются принципиально.
Представление системы в виде множества делает возможным следующий этап ее исследования — выделение в системе некоторой математической структуры. Конкретные математические структуры — это некоторые виды отношений между элементами системы, присущие многим математическим системам и потому получившие право на самостоятельное изучение. Примерами математических структур могут служить различного рода упорядочения (линейный порядок, частичный порядок, решетка и т. п.), алгебраические структуры (булева алгебра, группа, кольцо, поле и т. п.), метрические и топологические структуры (метрические и топологические пространства).
Широкое изучение в математике конкретных структур постепенно привело к выработке точных определений математической структуры. Достаточно общим является уточнение понятия математической структуры в виде понятия алгебраической системы — множества, на котором фиксированы некоторые операции и отношения (см. [3]).
Выявление в математической системе той или иной структуры, обычно хорошо изученной, является одним из средств исследования систем. Важно подчеркнуть, что мы здесь говорим о выявлении структуры в системе, а не о наделении множества структурой. Действительно, любая математическая система может рассматриваться как практически любая математическая структура. Например, на любом счетном множестве легко можно определить отношение линейного порядка или задать операцию с групповыми свойствами. Однако такое рассмотрение системы окажется полезным лишь в том случае, если введенные отношения и операции связаны с природой данной системы и задачами, которые стоят перед исследователем. Иными словами, рассматриваемая структура должна быть внутренне присуща системе, а не привноситься в нее искусственно.
Исследование математической системы через ее структуру сопровождается возможностью описания системы на логико-математическом языке, синтаксис которого адекватен данной структуре, т. е. содержит обозначения для выделенных в ней объектов, операций над объектами и отношений между объектами. Благодаря такому описанию дальнейшее исследование системы может вестись в рамках соответствующей логико-математической теории.
Особенностью математических систем, отличающей их от математических структур, является то, что система никогда не может быть описана полностью. Всякая попытка описать систему на некотором логико-математическом языке охватывает лишь некоторые аспекты системы. Любая математическая структура, присущая системе, не полностью отражает сущность этой системы. Не случайно поэтому в ходе исследования систем выявляются и изучаются все новые виды структур. При этом возникают такие структуры, которые являются как бы синтезом различных математических структур (упорядоченные группы, нормированные кольца и т. п.). Интерес к изучению таких структур вызван именно тем, что они присущи конкретным математическим системам.
Выявление в математической системе той или иной структуры позволяет отвлечься от всего многообразия связей между элементами системы, сосредоточить внимание лишь на тех отношениях, которые входят в данную структуру. Очень часто выделенная структура относится к тому или иному хорошо изученному классу структур, и тогда известные результаты переносятся на исследуемую систему.
Необходимо подчеркнуть, что основные математические структуры могут быть присущи математическим системам различной природы, благодаря чему обнаруживается сходство таких систем. В математике выработан ряд точных понятий, основывающихся на идее сходства систем по их структурам, и определены возможности перенесения знаний об одной системе на другую систему при той или иной форме подобия структур. Так, изоморфизм структур, присущих двум разным системам, означает, что эти системы неразличимы на данном уровне их анализа и свойства этих систем, формулируемые только в терминах рассматриваемых структур, полностью идентичны. Известны и другие типы подобия структур: гомеоморфизм — для топологических структур, возможность деформации одной системы в другую с помощью подходящей группы преобразований — для геометрических систем, рекурсивный изоморфизм — для систем конструктивных объектов и т. п. Очень важным и в значительной степени общим является понятие элементарной эквивалентности, означающее, что две системы описываются в точности одними и теми же предложениями некоторого логико-математического языка. Элементарная эквивалентность является математическим уточнением того, например, явления, что процессы различной физической природы могут описываться одними и теми же уравнениями (например, электрические и механические колебания.) В математической логике и теории моделей разработаны критерии элементарной эквивалентности, позволяющие переносить результаты исследования с одной системы на другую.
Выявление структур в математических системах позволяет вести их исследование путем сопоставления, моделирования одной системы в другой. Применение моделирования в математике может быть описано следующим образом. В данной математической системе выделяются те связи и отношения, которые интересуют исследователя, т. е. фиксируется некоторая структура, связанная с системой. Как уже отмечалось, это позволяет ограничиться только теми знаниями о системе, которые могут быть записаны на соответствующем логико-математическом языке. На этом же языке записывается и вопрос, интересующий исследователя. Затем выделенным связям и отношениям сопоставляются связи и отношения некоторой другой системы — модели. При таком сопоставлении все утверждения об исходной системе, формулируемые в упомянутом языке, естественным образом интерпретируются как высказывания, относящиеся к модели. Модель следует считать адекватной, если все утверждения, истинные в исследуемой системе, верны и в модели. В таком случае изучение исходной системы можно вести через исследование модели. Следует, однако, иметь в виду, что значимыми для исследователя, достоверными будут лишь те выводы, полученные в результате исследования модели, которые могут быть сформулированы в терминах свойств и отношений, выделенных при построении модели. Все прочие результаты не обязательно должны иметь интерпретацию по отношению к моделируемой системе, хотя иногда они могут играть эвристическую роль или подсказать необходимость продолжения моделирования на более богатые структуры.
Описанная схема моделирования в математике соответствует основным положениям теории моделей. В практике математических исследований указанные стадии процесса моделирования не всегда четко выделены. Можно сказать, что теория моделей изучает некоторую абстрактную схему моделирования, к которой может быть сведен практически любой конкретный пример моделирования в математике. Однако следует отметить, что собственно теория моделей как раздел математики касается не всех сторон процесса моделирования: в ней моделирование выступает лишь как отношение между теорией и математической структурой. Поэтому в работах общеметодологического характера, посвященных моделированию, понятие модели, принятое в математической логике, обычно приводят лишь как одно из значений термина «модель». Рассмотрение этого понятия в контексте системных представлений позволяет установить его тесную связь с методом моделирования в широком смысле. Для этого необходимо выявить дополнительные звенья процесса моделирования в математике, которые носят скорее методологический, а не математический характер и потому остаются за рамками математической теории моделей. Во-первых, теорию следует рассматривать не саму по себе, а как теорию некоторой структуры, выявленной и подлежащей исследованию в математической системе. Во-вторых, модель — это не структура, а система, в которой выявлена структура, описываемая той же теорией. В общем случае представляется бессмысленным говорить о математических структурах вне связи с математическими системами. И в математической практике, когда речь идет об отыскании структуры с заданными свойствами, то по существу имеется в виду построение математической системы (например, числовой, геометрической или какой-либо другой), которой присуща такая структура. Таким образом, в процессе моделирования в математике возникает следующая цепочка понятий: «система-объект» — «структура₁» — «теория» — «структура₂» — «система-модель», где «структура₁» — это структура, присущая «системе-объекту», а «структура₂» — это структура, присущая «системе-модели» и описываемая той же «теорией», что и «структура₁». Представляется, что с помощью такой цепочки можно описать некоторые процессы моделирования не только в математике. Заметим, что теория моделей как таковая изучает лишь отношения между вторым, третьим и четвертым звеньями указанной цепочки («структура₁» — «теория» — «структура₂»).
Математика и проблемы построения общей теории систем
Применение элементов системного подхода в математике — это явление, характерное для ее развития, по крайней мере начиная с XIX в. Однако этот факт не нашел достаточного отражения в исследованиях по методологии и философии математики. Это можно объяснить спецификой исследования систем вообще и математических систем в частности, которая заключается в том, что при изучении математических систем обычно выделяют лишь некоторые их стороны, которые легче поддаются формализации и исследование которых допускает использование аппарата и методов того или иного раздела математики. Если для математики в целом основным предметом исследования остаются математические системы, то отдельные математические дисциплины, как правило, изучают лишь конкретные математические структуры или классы структур. Поэтому получили развитие подходы к исследованию математических структур в общей алгебре, теории моделей, теории категорий, а математические системы как таковые не стали еще предметом специального исследования.
Отсутствие в современной математике готового аппарата для описания объектов системного характера является причиной неудовлетворенности многих исследователей состоянием оснований общей теории систем. Так, Л. фон Берталанфи само возникновение общей теории систем связывает с недостаточностью имеющихся математических методов для анализа «системных проблем». В то же время «очевидно стремление развивать общую теорию систем в математических понятиях, поскольку точный язык математики позволяет строгую дедукцию и подтверждение (или опровержение) теории» [1, с. 28]. Отмечая достижения математической теории систем, т. е. области исследования, где термин «система» тем или иным образом трактуется в рамках имеющегося математического аппарата, Л. фон Берталанфи все же считает нецелесообразным отождествлять общую теорию систем с тем или иным вариантом математической теории систем, «поскольку имеется много проблем, нуждающихся в „теории", которую невозможно выразить в понятиях современной математики» [1, с. 27]. В этой связи представляется весьма целесообразным проведение обобщенного анализа математических систем, который может способстовать формализации представлений о них и тем самым содействовать развитию системного подхода.
В работе В. Н. Садовского [5] сформулирован ряд актуальных проблем методологии системных исследований. Некоторые из них имеют очевидную связь с развитием представлений о математических системах. Так, проблема уточнения определений и построения формализованных описаний основных понятий методологии системного исследования актуальна и для современной математики. Хотя некоторые системные понятия имеют в ней точный смысл, предстоит формализовать их взаимосвязь с понятием системы, точного определения которого пока не построено.
Другая из перечисленных в [5] проблем — это сопоставительный анализ концептуальных структур и основных принципов системного подхода (общей теории систем) и теоретико-множественной методологической концепции. Очевидно, что эта проблема теснейшим образом связана с методологией исследования математических систем. Как отмечалось ранее, представление системы в виде множества объектов — это лишь первая стадия математического исследования системы. Между тем любые попытки определения системы приводят, как правило, к отождествлению системы с множеством. Кажущаяся фундаментальная роль понятия множества в исследовании таких сложных объектов, как математические системы, обусловлена, на наш взгляд, современным состоянием математики, особенно ее оснований.
Действительно, в математике термин «множество» часто употребляется там, где в действительности речь идет о системе. Это связано с тем, что многие математические системы возникли в результате совместного рассмотрения многих объектов и некоторая декомпозиция таких систем на элементы, представление их в виде множества оказываются данными с самого начала. Так, иногда говорят о множестве действительных чисел, хотя имеют в виду соответствующую систему. Таким образом, термин «множество» обозначает в математике и систему как целостный объект, и математический объект, возникающий на низшей стадии анализа системы. Собственно теория множеств исследует это понятие лишь в его втором аспекте. Употребляемое в первом смысле, это понятие следовало бы заменить термином «система». Близкими по значению являются термины «пространство», «алгебра» и т. п., если при их употреблении не имеется в виду какой-либо точный смысл этих слов (например, векторное пространство или булева алгебра). Исследование понятия математической системы должно вестись в рамках некоторой теории, которую можно назвать теорией математических систем и которая, по-видимому, должна первоначально развиваться на стыке философии, методологии математики и самой математики. Можно ожидать, что философско-методологические проблемы исследования систем явятся источником новых задач для различных областей математики, как это случалось ранее в связи с решением вопросов оснований математики.
Еще одна причина, определяющая роль теории множеств в исследовании систем, состоит в том, что значительная часть математики строится на теоретико-множественной основе. Большинство математических дисциплин сведено к теории множеств до такой степени, что по существу они могут рассматриваться как ее части. Поэтому всякая попытка выразить представления о системах на математическом языке неизбежно приводит к тем определениям, о которых мы говорили выше, где «система — это множество...». Между тем даже в математике теоретико-множественное представление об объектах вряд ли является неизбежным и единственно возможным. Достаточно вспомнить, что все традиционные разделы математики зародились и успешно развивались и до того, как понятие множества заняло главенствующее положение в математике. В то же время сама теория множеств нуждается в обосновании. При построении наивной теории множеств возникают парадоксы, а ограниченность аксиоматического подхода в свете современных достижений математической логики очевидна.
Таким образом, теория множеств дает удобный язык для выражения математических построений, но она не может служить их безусловым основанием и объяснением. В частности, являясь полезным инструментом исследования математических систем, сама по себе теория множеств не может служить удовлетворительной основой системного подхода в математике.
Многообразие способов членения системы на элементы можно проиллюстрировать на примере различных теоретико-множественных представлений традиционных математических объектов. Анализ системы и ее математическое представление состоят не только в отождествлении ее с некоторым множеством, но и в выявлении в ней некоторой математической структуры. Рассмотрение математической системы только с точки зрения фиксированной структуры ведет к временной подмене объекта исследования. Поэтому, как и в случае с множествами, часто, имея в виду систему в целом, говорят лишь о некоторой присущей ей структуре. Поэтому следует различать, например, когда выражение «поле действительных чисел» употребляется для обозначения системы действительных чисел, а когда — для обозначения произвольного поля, изоморфного полю действительных чисел, так как структура такого поля может быть свойственна и другим математическим системам, которые по своим характеристикам, кроме тех, которые выражены в понятии поля, существенно отличаются от системы действительных чисел.
Как отмечалось ранее, понятие алгебраической системы, являющееся точным аналогом понятия математической структуры, само по себе еще не может служить в качестве уточнения понятия математической системы, ибо было бы методологически неправильно отождествлять такой сложный объект, как система, с некоторым конкретным и довольно частным его описанием. Все же среди известных математических понятий алгебраические системы ближе всего стоят к математическим системам. Поэтому идеи и методы теории алгебраических систем могут быть использованы при разработке общей теории математических систем. Одной из задач этой теории должно стать описание взаимосвязей между различными алгебраическими системами, представляющими одну и ту же математическую систему.
Казалось бы, ограниченность подхода к определению понятия системы путем отождествления последнего с понятием алгебраической системы можно преодолеть рассматривая систему как структуру вида <А, Ω>, где А — некоторое множество (так сказать, «материальный носитель» системы), a Ω — совокупность всех операций и отношений на А. При этом в качестве А можно было бы взять не просто одно из возможных теоретико-множественных представлений системы, а всевозможные множества, полученные из него теоретико-множественным путем, например все подмножества уже имеющихся множеств и т. п. Однако даже если отвлечься от того, что мы здесь фиксируем членение системы, рассмотрение такой «универсальной» структуры вряд ли будет способствовать прояснению методологических проблем системного подхода. Дело в том, что система никогда не предстает во всем бесконечном многообразии присущих ей структур, а может рассматриваться лишь как становящаяся последовательность структур, в которых раскрывается сущность системы. Иными словами, с познавательной точки зрения, система — это не актуально бесконечное, а скорее потенциально бесконечное множество структур. Взгляд на развитие знания как на становящийся процесс характерен для интуиционистского подхода к построению математики. В рамках этого направления разработаны формальные средства для представления становящегося характера знания. Одно из них — так называемые модели Крипке.
Интуиционистские модели Крипке описывают изменение знания познающего субъекта. Такая модель задается деревом, т. е. частично упорядоченным множеством <М, <>, в котором для любого элемента а множество {x | x <= а} линейно упорядочено отношением <=. Элементы множества М могут интерпретироваться как моменты времени или состояния познающего субъекта, причем если а < b, то состояние b можно рассматривать как более позднее, чем а. В каждом состоянии субъект имеет определенную информацию об исследуемом объекте, причем при переходе в более позднее состояние информация не теряется, а лишь расширяется. Развитие может пойти по любому пути в дереве, однако в каждый момент неизвестно, по какому именно пути пойдет познание. Это накладывает своеобразные условия на то, что может быть принято в данный момент в качестве достоверного знания об исследуемом объекте. Такая концепция представления знаний оказалась удобной для интерпретации интуиционистской логики. Думается, что этот аппарат применим и к задачам системного исследования.
Роль системного подхода в математике
До сих пор мы говорили о том, что может дать рассмотрение системного подхода в математике для методологии системных исследований и общей теории систем. Необходимо также остановиться на роли системного подхода в развитии математики.
Системные исследования в математике связаны с переходом от рассмотрения отдельных математических объектов к изучению систем и объектов внутри системы. Такой переход делается не из простого стремления к обобщению. Потребность перехода на новую ступень абстракции обусловлена естественно возникающими в процессе развития математики задачами. Характерен в этом отношении процесс выделения функционального анализа в самостоятельную математическую дисциплину. Методологическое значение того коренного поворота в математике, который выразился в изменении подхода к исследованию различных проблем математического анализа, замене рассмотрения отдельных функций и связывающих их соотношений и уравнений совокупным исследованием этих объектов, т. е. изучением функциональных пространств и их преобразований, проанализировано в предисловии к книге [2]. Содержащаяся там оценка этого явления во многом перекликается с трактовкой методологической природы системного подхода, излагаемой в работе Э. Г. Юдина: «Методологическая ценность этого направления состоит прежде всего в том, что оно содержит и в развернутой форме выражает требование нового по сравнению с предшествующими подхода к объекту изучения. Этот момент очень важно подчеркнуть: системный подход сам по себе не дает решения проблемы непосредственно, он является орудием новой постановки проблем» [7, с. 43].
Примерами постановки задач в математике, при которой оказывается существенной взаимосвязь объектов внутри системы, могут служить вопросы полноты системы функций, одновременное рассмотрение целого класса задач, например при исследовании зависимости решения граничной задачи от правой части уравнения или граничных условий. Для постановки и решения именно таких задач оказались плодотворными методы функционального анализа. При этом следует подчеркнуть, что во многих случаях общность рассмотрения позволила обнаружить более общие и в то же время более конкретные и глубокие закономерности и связи, так как не имеющие значения детали каждой отдельной задачи в этом случае отбрасывались и уже не заслоняли существа дела.
Переход от рассмотрения отдельных объектов к их совокупному изучению в виде системы с последующим выделением в этой системе различных математических структур приводит к общей абстрактной форме рассмотрения математических проблем, позволяющей объединять и подвергать одновременному исследованию далекие на первый взгляд вопросы. Например, изучение уравнений F(x) = y, где х и у — объекты из произвольной системы, в которой выделена структура нормированного пространства, позволяет объединить рассмотрение таких проблем, как решение дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, граничных задач, бесконечных систем алгебраических уравнений. Поэтому, в частности, переход от отдельных функций к пространствам функций столь же принципиально важен, как в свое время был важен переход от алгебраических уравнений и соотношений к переменным величинам и функциональной зависимости.
Для математики характерно стремление переносить результаты, полученные для отдельных объектов или их конечных совокупностей, на бесконечные множества или даже на все объекты данного типа. Это выражается, в частности, в попытках найти единообразные способы решения целых классов задач. К таким проблемам относятся, например, проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, массовые алгоритмические проблемы, возникавшие в различных областях математики. Такие проблемы ставились по отношению к совокупности объектов, но для их решения потребовалось исследование связей между объектами таких совокупностей, т. е. рассмотрение не множеств, а систем.
Таким образом, переход к системному рассмотрению в математике часто бывает необходим для правильной постановки проблем, назревших в той или иной математической теории, для нахождения единого способа решения классов задач, для исследования тех свойств объектов, которые проявляются только во взаимодействии с другими объектами.
Одной из предпосылок системных исследований очень часто называют стремление к интеграции научного знания. Эта сторона системного подхода существенно важна и для математики. Взаимосвязь различных частей математики имеет следующие два аспекта, связанные с системным подходом: 1) исследование одной и той же математической системы разными математическими дисциплинами и теориями в зависимости от того, какой тип структур, присущих данной системе, они изучают; 2) возможность применения результатов исследования одной математической структуры к разным математическим системам, изучаемым в других областях математики. Первый аспект наглядно иллюстрируется, например, исследованием таких систем, как функциональные пространства, где тесно переплетаются идеи и методы многих разделов математики. Второй аспект интеграции может быть продемонстрирован на примере алгебраизации математики; математические структуры, изучаемые в алгебре, обнаруживаются в самых разных математических системах. Таким образом, интеграция математического знания осуществляется как на основе единства объектов исследования, так и на основе единства методов исследования.
Подводя итог нашему рассмотрению, можно констатировать, что в математике важное место занимают объекты, которые могут рассматриваться как системы при том понимании этого термина, которое принято в системных исследованиях. Возникновение математических систем обусловлено внутренней логикой развития математики и связано с переходом от рассмотрения отдельных объектов к их совокупному изучению. Рассмотрение математических систем дает в руки исследователя новые методы, основанные на обнаружении общих закономерностей, которые могут быть выявлены лишь при сопоставлении различных систем и изучении объектов внутри таких систем.
Системный подход как междисциплинарная методология позволяет с новой точки зрения взглянуть на процессы, происходящие внутри математики. В то же время обобщенное исследование математических систем должно способствовать уточнению постановки ряда общеметодологических проблем системного подхода.
ЛИТЕРАТУРА
- Берталанфи Л. фон. История и статус общей теории систем.— В кн.: Системные исследования: Ежегодник, 1973. М.: Наука, 1973, с. 20—37.
- Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.
- Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.
- Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. 344 с.
- Садовский В. Н. Системный подход и общая теория систем: статус, основные проблемы и перспективы развития.— В кн.: Системные исследования: Методол. пробл. Ежегодник, 1979. М.: Наука, 1980, с. 29—54.
- Шрейдер Ю. А. К построению языка описания систем.— В кн.: Системные исследования: Ежегодник, 1973. М.: Наука, 1973.
- Юдин Э. Г. Методологическая природа системного подхода.— В кн.: Системные исследования: Ежегодник, 1973. М.: Наука, 1973, с. 38—51.