Оптимизация
Оптимален — най-добър при зададени условия. Качеството се оценява с помощта на критерий за оптималност, а условията се задават под формата на ограничения върху допълнителни критерии.
Стремежът към повишаване на ефективността на труда, творчеството и всяка целенасочена дейност — това естествено стремление на човека — намери своя израз, ясна и разбираема форма в идеята за оптималност. Разликата между строго научното и „общоприетото", житейското разбиране на оптималността е съвсем малка. Вярно е, че срещащите се изрази от рода на „най-оптимален" или „ще постигнем максимален ефект при минимум разходи\" са математически некоректни, но лицата, които ги използват, всъщност просто неточно и неудачно изразяват правилна мисъл: щом стигне до конкретна оптимизация, те бързо и лесно коригират формулировките.
Оптимизация — в математиката, информатиката и изследването на операциите това е задача за намиране на екстремум (минимум или максимум) на целева функция в някаква област на крайномерно векторно пространство, ограничена от набор от линейни и/или нелинейни равенства и/или неравенства.
Оптимизационни модели
Оптимизационен модел — това е модел за вземане на решения, съдържащ показател за ефективност (целева функция), който трябва да бъде оптимизиран при условие на спазване на набор от зададени ограничения.
Оптимизационните модели са предназначени за определяне на оптималните (най-добрите) от гледна точка на някакъв критерий параметри на моделирания обект или за търсене на оптимален (най-добър) режим на управление на някакъв процес. Част от параметрите на модела се отнасят към параметрите на управление, чрез промяната на които могат да се получат различни варианти на набори от стойности на изходните параметри. По правило тези модели се изграждат с използването на един или няколко дескриптивни модела и включват някакъв критерий, позволяващ сравняване на различни варианти на набори от стойности на изходните параметри помежду им с цел избор на най-добрия. Върху областта на стойностите на входните параметри могат да бъдат наложени ограничения под формата на равенства и неравенства, свързани с особеностите на разглеждания обект или процес. Целта на оптимизационните модели е търсене на такива допустими параметри на управление, при които критерият за избор достига своята „най-добра стойност\".
Оптимизационни модели на изследването на операциите
Задачата се формулира под формата на математически модел. Типичният математически модел на изследването на операциите е представен в следната формулировка:
Максимизация или минимизация на целева функция при условие на изпълнение на ограниченията
Оптимални се наричат решенията, които по един или друг признак са за предпочитане пред другите. Всеки избор на най-добрия вариант е конкретен, тъй като се основава на съответствие с установени критерии. Говорейки за оптималния вариант, се посочват тези критерии („оптимален по…\"). Това, което е оптимално при един критерий, не е задължително такова при друг.
Допустимо решение — ако то удовлетворява всички ограничения на модела. Допустимите решения в отделни случаи могат да бъдат безкрайно много.
Оптимално решение — ако освен това, че е допустимо, целевата функция в това решение достига максимална или минимална стойност.
Оптимизация — максимизация или минимизация на целевата функция.
Оптимално решение — допустим набор от стойности на променливите на решението, оптимизиращ целевата функция на оптимизационния модел.
Модел на оптималния избор
Голям брой срещащи се на практика задачи за избор се свежда до намиране на най-добрите или най-предпочитаните за човека варианти, а нерядко — до търсене на единствения най-добър вариант. При това всяко лице, вземащо решение (ЛВР), има собствени субективни представи за това, което е предпочитано за него в конкретната ситуация на избор.
Има достатъчно много задачи, за които може да се изгради математически модел на избора, където понятието за най-добър вариант се формализира чрез задаване на един или няколко числови показателя за ефективност или критерии за качество на решението. Тези показатели, макар и да се задават от ЛВР, носят обективен характер, определен от съдържанието на решаваната задача, и се изразяват чрез някакви функции, зависещи от променливите, с които се измерват свойствата на вариантите. В такива случаи за най-предпочитания от ЛВР вариант на решение на задачата за избор се приема т.нар. оптимален вариант, който съответства на екстремалната стойност на един или няколко показателя за ефективност на решението при съществуващите условия.
Принципен момент за формулировката на задачата за оптимален избор е възможността за описване на проблемната ситуация и предпочитанията на ЛВР в количествена форма. Това означава, че, на първо място, възможните варианти на решение (алтернативи, обекти, начини на действие) се определят от количествени признаци (променливи, параметри, атрибути), измерими с помощта на числови скали. На второ място, трябва да бъдат зададени количествени показатели (критерии за оптималност, показатели за ефективност, целеви функции, функции на стойността), по чиято величина се оценява качеството на избрания вариант. Подобни ситуации са характерни за добре структурируемите проблеми и повтарящите се ситуации на избор, типични за изследването на операциите и оптималното управление.
За анализ на възможните варианти на решение на проблема (начини за постигане на целта) и избор сред тях на един или няколко най-добри варианти се изграждат формални модели на оптималния избор. Моделът дава опростено представяне на реалния проблем и трябва да отразява най-важните и обективно съществуващи зависимости и връзки между вариантите, описващите ги признаци и ограниченията, задавани от управляемите и неуправляемите фактори. Изграждането на такъв модел е задача на консултантите-анализатори и експертите при участието на ЛВР. При изграждането на модела за избор е необходимо да се съизмерват адекватността и детайлността на модела с точността на изисквания резултат от реалната задача за избор, а също и с обема на необходимата за търсене на решението информация — както наличната, така и тази, получавана допълнително.
Ограничения на оптимизационния подход
Оптимизационните проблеми са строго формални математически задачи. Практическото значение на решенията на такива задачи пряко зависи от това, колко добър е изходният математически модел. В сложните системи математическото моделиране е затруднено, приблизително, неточно. Колкото по-сложна е системата, толкова по-внимателно следва да се подхожда към нейната оптимизация.
От позициите на системния анализ отношението към оптимизацията може да се формулира по следния начин: това е мощно средство за повишаване на ефективността, но използването му следва да става все по-предпазливо с нарастването на сложността на проблема.
При цялата очевидна полезност на идеята за оптимизация практиката налага необходимостта от предпазливо боравене с нея. За такова заключение има достатъчно сериозни основания.
- Оптималното решение често се оказва неустойчиво: на пръв поглед незначителни промени в условията на задачата могат да доведат до избор на съществено различаващи се алтернативи.
- Разглежданата система е част от някаква по-голяма система и тогава локалната оптимизация съвсем не е задължително да доведе до същия резултат, който ще се изисква от подсистемата при оптимизация на системата като цяло. Това налага необходимостта от обвързване на критериите на подсистемите с критериите на системата, като нерядко прави излишна локалната оптимизация.
- Критериите характеризират целта само косвено — понякога по-добре, понякога по-зле, но винаги приблизително. Максимизацията на критерия за оптималност нерядко се отъждествява с целта, а всъщност това са различни неща. Фактически критерият и целта се отнасят един към друг като модел и оригинал, с всички произтичащи от това особености. Много цели трудно или дори невъзможно могат да бъдат описани количествено.
- Без да зададем всички необходими ограничения, можем едновременно с максимизацията на основния критерий да получим непредвидени и нежелани съпътстващи ефекти.
Литература
- Вентцел, Е. С. Изследване на операциите: задачи, принципи, методология. — М.: Наука, 1988. (Или по-късно издание)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Посочете изданието, например, 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.