Waldovo kritérium

Waldovo kritérium — jedna ze základních metod rozhodování v podmínkách neurčitosti. Je založena na principu krajního pesimismu a je zaměřena na výběr strategie, která zajišťuje nejlepší výsledek v nejhorším možném scénáři.

Podstata kritéria

Kritérium předpokládá, že rozhodující osoba se orientuje na nejméně příznivý výsledek pro každou strategii. Pro každou alternativu se určí její nejhorší možný výsledek. Ze všech strategií se vybere ta, u níž je tento nejhorší výsledek nejlepší ze všech.

Jinými slovy, Waldovo kritérium je zaměřeno na minimalizaci maximálních ztrát a zajišťuje největší ochranu před nepříznivými podmínkami.

Použití kritéria

Postup použití zahrnuje následující kroky:

1. Pro každou strategii se určí nejhorší možný výsledek.
2. Porovnají se nejhorší výsledky všech strategií.
3. Vybere se strategie s nejlepším z nejhorších výsledků.

Tento přístup je typický pro krajně opatrné osoby, které se snaží minimalizovat rizika bez ohledu na pravděpodobnost nastání různých výsledků.

Matematická formulace

Nechť jsou zadány:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — množina dostupných strategií (alternativ), z nichž vybírá rozhodující osoba (RP).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — množina možných stavů přírody (vnějších podmínek, scénářů), nezávislých na volbě RP.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkce výhry (užitečnosti), představující číselné ohodnocení výsledku při volbě strategie $s_i\in S$ a nastání stavu přírody ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. Často je reprezentována ve formě platební matice $A=[a_{ij}]$, kde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Waldovo kritérium (nebo maximinové kritérium) předepisuje následující postup:

1. Nalezení minimální výhry pro každou strategii: Pro každou strategii $s_i$ se určí její nejhorší možný výsledek (minimální výhra) přes všechny možné stavy přírody:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. Výběr strategie s maximální z minimálních výher: Vybere se ta strategie $s_{\text{Wald}}^{*}$, která zajišťuje nejvyšší hodnotu mezi nalezenými minimálními výhrami:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Zaručená (minimální) úroveň výhry při použití Waldova kritéria je rovna: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

Waldovo kritérium tak realizuje princip maximinu — maximalizaci minimální výhry. Je orientováno na pesimistický pohled, přičemž předpokládá, že ať je přijato jakékoli rozhodnutí, příroda odpoví způsobem nejméně příznivým pro RP.

Poznámka k funkci ztrát

Pokud se místo funkce výhry $u(s_i,{\theta }_j)$ používá funkce ztrát $L(s_i,{\theta }_j)$, kterou je třeba minimalizovat, pak se Waldovo kritérium mění na kritérium minimaxu ztrát:

1. Pro každou strategii $s_i$ se nalezne maximální hodnota ztrát: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. Vybere se strategie minimalizující tyto maximální ztráty: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

Výhody a nevýhody

Výhody:

• Jednoduchost a přehlednost metody.
• Zajištění vysokého stupně bezpečnosti rozhodnutí v podmínkách úplné neurčitosti.

Nevýhody:

• Nadměrný pesimismus: možné vysoké zisky jsou ignorovány ve prospěch minimalizace ztrát.
• Může vést k výběru příliš konzervativních strategií.