Otimização
Ótimo — o melhor em condições dadas. A qualidade é avaliada por meio de um critério de otimalidade, e as condições são definidas como restrições sobre critérios adicionais.
A busca por aumentar a eficiência do trabalho, da criatividade e de qualquer atividade com propósito, essa aspiração natural do ser humano, encontrou sua expressão de forma clara e compreensível na ideia de otimalidade. A diferença entre a compreensão estritamente científica e a "comum", do dia a dia, de otimalidade é bastante pequena. É verdade que expressões como "o mais ótimo" ou "alcançaremos o efeito máximo com o mínimo de custos" são matematicamente incorretas, mas as pessoas que usam essas expressões estão, na verdade, apenas expressando uma ideia correta de forma imprecisa e infeliz: assim que se trata de uma otimização concreta, elas corrigem rápida e facilmente suas formulações.
Otimização — em matemática, ciência da computação e pesquisa operacional, é o problema de encontrar o extremo (mínimo ou máximo) de uma função objetivo em alguma região de um espaço vetorial de dimensão finita, limitada por um conjunto de igualdades e/ou desigualdades lineares e/ou não lineares.
Modelos de Otimização
Modelo de otimização — é um modelo de tomada de decisão que contém um indicador de eficácia (função objetivo) que precisa ser otimizado, sujeito a um conjunto de restrições dadas.
Modelos de otimização são projetados para determinar os parâmetros ótimos (os melhores) de um objeto modelado do ponto de vista de algum critério, ou para encontrar o regime de controle ótimo (o melhor) para um processo. Parte dos parâmetros do modelo são classificados como parâmetros de controle, e ao alterá-los, é possível obter diferentes conjuntos de valores para os parâmetros de saída. Geralmente, esses modelos são construídos com base em um ou mais modelos descritivos e incluem um critério que permite comparar diferentes conjuntos de valores dos parâmetros de saída para escolher o melhor. Restrições na forma de igualdades e desigualdades, relacionadas às particularidades do objeto ou processo em questão, podem ser impostas ao domínio dos parâmetros de entrada. O objetivo dos modelos de otimização é encontrar parâmetros de controle admissíveis que permitam que o critério de escolha atinja seu "melhor valor".
Modelos de Otimização em Pesquisa Operacional
O problema é formulado na forma de um modelo matemático. Um modelo matemático típico de pesquisa operacional é apresentado na seguinte formulação:
Maximização ou minimização da função objetivo, sujeita ao cumprimento de restrições
Soluções ótimas são aquelas que, por um ou outro critério, são preferíveis a outras. Cada escolha da melhor opção é específica, pois se baseia na conformidade com critérios estabelecidos. Ao falar de uma opção ótima, esses critérios são especificados ("ótima em relação a..."). O que é ótimo segundo um critério não necessariamente será ótimo segundo outro.
Solução viável — uma solução que satisfaz todas as restrições do modelo. Em alguns casos, pode haver um número infinito de soluções viáveis.
Solução ótima — uma solução que, além de ser viável, faz com que a função objetivo atinja seu valor máximo ou mínimo.
Otimização — a maximização ou minimização da função objetivo.
Solução ótima — um conjunto viável de valores das variáveis de decisão que otimiza a função objetivo do modelo de otimização.
Modelo de Escolha Ótima
Um grande número de problemas de escolha encontrados na prática se resume a encontrar as melhores ou mais preferíveis opções para uma pessoa, e frequentemente, a buscar a única melhor opção. Cada tomador de decisão (TD) tem suas próprias noções subjetivas sobre o que é preferível para ele em uma situação de escolha específica.
Existem muitas tarefas para as quais é possível construir um modelo matemático de escolha, onde o conceito de "melhor opção" é formalizado pela definição de um ou mais indicadores numéricos de eficácia ou critérios de qualidade da solução. Esses indicadores, embora definidos pelo tomador de decisão, têm um caráter objetivo, determinado pelo conteúdo do problema a ser resolvido, e são expressos por funções que dependem das variáveis que medem as propriedades das opções. Nesses casos, a opção de solução mais preferível para o tomador de decisão é considerada a chamada opção ótima, que corresponde ao valor extremo de um ou mais indicadores de eficácia da solução sob as condições existentes.
Um ponto fundamental para a formulação de um problema de escolha ótima é a capacidade de descrever a situação problemática e as preferências do tomador de decisão de forma quantitativa. Isso significa, em primeiro lugar, que as possíveis opções de solução (alternativas, objetos, cursos de ação) são definidas por características quantitativas (variáveis, parâmetros, atributos), medidas em escalas numéricas. Em segundo lugar, devem ser fornecidos indicadores quantitativos (critérios de otimalidade, indicadores de eficácia, funções objetivo, funções de valor), pelos quais a qualidade da opção escolhida é avaliada. Tais situações são características de problemas bem estruturados e situações de escolha recorrentes, típicas da pesquisa operacional e do controle ótimo.
Para analisar as possíveis opções de solução de um problema (maneiras de atingir um objetivo) e escolher uma ou mais das melhores entre elas, são construídos modelos formais de escolha ótima. O modelo oferece uma representação simplificada do problema real e deve refletir as dependências e conexões mais importantes e objetivamente existentes entre as opções, suas características descritivas e as restrições impostas por fatores controláveis e incontroláveis. A construção de tal modelo é tarefa de consultores-analistas e especialistas, com a participação do tomador de decisão. Ao construir um modelo de escolha, é preciso equilibrar a adequação e o detalhamento do modelo com a precisão da solução necessária para o problema real, bem como com o volume de informação necessário para encontrar a solução — tanto a já disponível quanto a que será obtida adicionalmente.
Limitações da Abordagem de Otimização
Problemas de otimização são tarefas matemáticas estritamente formais. O valor prático das soluções para tais problemas depende diretamente da qualidade do modelo matemático inicial. Em sistemas complexos, a modelagem matemática é difícil, aproximada e imprecisa. Quanto mais complexo o sistema, mais cautelosamente se deve abordar sua otimização.
Do ponto de vista da análise de sistemas, a atitude em relação à otimização pode ser formulada da seguinte maneira: é uma ferramenta poderosa para aumentar a eficiência, mas deve ser usada com cada vez mais cautela à medida que a complexidade do problema aumenta.
Apesar da utilidade óbvia da ideia de otimização, a prática exige um tratamento cuidadoso. Existem razões bastante sólidas para essa conclusão.
- A solução ótima muitas vezes se revela instável: mudanças aparentemente insignificantes nas condições do problema podem levar à escolha de alternativas substancialmente diferentes.
- O sistema em consideração é parte de um sistema maior, e, nesse caso, a otimização local não levará necessariamente ao mesmo resultado que seria exigido do subsistema na otimização do sistema como um todo. Isso leva à necessidade de alinhar os critérios dos subsistemas com os critérios do sistema, tornando a otimização local muitas vezes desnecessária.
- Os critérios caracterizam o objetivo apenas indiretamente, às vezes melhor, às vezes pior, mas sempre de forma aproximada. A maximização do critério de otimalidade é frequentemente identificada com o objetivo, mas na realidade são coisas diferentes. De fato, o critério e o objetivo se relacionam como um modelo e o original, com todas as particularidades que isso implica. Muitos objetivos são difíceis ou até mesmo impossíveis de descrever quantitativamente.
- Ao não definir todas as restrições necessárias, podemos, ao mesmo tempo que maximizamos o critério principal, obter efeitos colaterais imprevistos e indesejáveis.
Literatura
- Ventsel, E. S. Pesquisa Operacional: problemas, princípios, metodologia. — Moscou: Nauka, 1988. (Ou uma edição posterior)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Especificar a edição, por exemplo, 10ª ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.