Optimization — 최적화
최적 — 주어진 조건에서 가장 우수한 상태. 품질은 최적성 기준을 통해 평가되며, 조건은 추가 기준에 대한 제약으로 설정된다.
노동, 창의적 활동, 모든 목적 지향적 활동의 효율성을 높이려는 인간의 자연스러운 욕구는 최적성이라는 개념에서 명확하고 이해하기 쉬운 형태로 표현된다고 할 수 있다. 최적성에 대한 엄밀한 과학적 이해와 '일반적인' 일상적 이해 사이의 차이는 그리 크지 않다. 물론 '가장 최적인'이나 '최소한의 비용으로 최대 효과를 달성한다'와 같은 표현은 수학적으로 부정확하지만, 이러한 표현을 사용하는 사람들은 사실 올바른 생각을 단지 엄밀하지 않고 어색하게 표현하고 있을 뿐이다. 구체적인 최적화 문제에 직면하면 그들은 빠르고 쉽게 표현을 수정한다.
최적화 — 수학, 정보과학 및 운용 과학에서, 선형 및/또는 비선형 등식 및/또는 부등식으로 이루어진 제약 조건에 의해 한정된 유한 차원 벡터 공간의 특정 영역에서 목적 함수의 극값(최솟값 또는 최댓값)을 구하는 문제.
최적화 모델
최적화 모델 — 주어진 제약 조건들을 만족하면서 최적화해야 하는 효율성 지표(목적 함수)를 포함하는 의사결정 모델.
최적화 모델은 특정 기준의 관점에서 모델링 대상의 최적(최선) 매개변수를 결정하거나, 특정 프로세스에 대한 최적(최선) 제어 방식을 탐색하기 위해 설계된다. 모델 매개변수의 일부는 제어 매개변수로 분류되며, 이를 변경함으로써 출력 매개변수 값의 다양한 조합을 얻을 수 있다. 일반적으로 이러한 모델은 하나 이상의 서술적 모델을 사용하여 구축되며, 최선의 출력 매개변수 값 조합을 선택하기 위해 다양한 변형들을 서로 비교할 수 있는 기준을 포함한다. 입력 매개변수의 값 범위에는 고려 대상 객체 또는 프로세스의 특성과 관련된 등식 및 부등식 형태의 제약이 부과될 수 있다. 최적화 모델의 목표는 선택 기준이 '최선의 값'에 도달하게 하는 허용 가능한 제어 매개변수를 탐색하는 것이다.
운용 과학의 최적화 모델
문제는 수학적 모델의 형태로 공식화된다. 운용 과학의 전형적인 수학적 모델은 다음과 같이 표현된다:
제약 조건을 만족하면서 목적 함수를 최대화 또는 최소화
최적 해란 특정 기준에 따라 다른 해보다 선호되는 해를 말한다. 최선의 대안 선택은 구체적이며, 설정된 기준에 부합하는지 여부에 근거한다. 최적 대안을 말할 때는 해당 기준을 명시한다(«...에 대해 최적»). 하나의 기준에서 최적인 것이 반드시 다른 기준에서도 최적인 것은 아니다.
허용 가능한 해 — 모델의 모든 제약 조건을 만족하는 해. 경우에 따라 허용 가능한 해는 무한히 많을 수 있다.
최적 해 — 허용 가능할 뿐만 아니라, 해당 해에서 목적 함수가 최댓값 또는 최솟값에 도달하는 해.
최적화 — 목적 함수의 최대화 또는 최소화.
최적 해 — 최적화 모델의 목적 함수를 최적화하는, 결정 변수 값들의 허용 가능한 집합.
최적 선택 모델
실무에서 접하는 많은 선택 문제는 인간에게 가장 좋거나 가장 선호되는 대안을 찾는 것으로 귀결되며, 종종 유일한 최선의 대안을 탐색하는 문제가 된다. 이때 각 의사결정자(ЛПР)는 특정 선택 상황에서 자신에게 무엇이 바람직한지에 대한 고유한 주관적 관념을 가지고 있다.
수학적 선택 모델을 구축할 수 있는 문제들이 상당히 많이 존재하며, 여기서 최선의 대안이라는 개념은 하나 이상의 수치적 효율성 지표 또는 해의 품질 기준을 설정함으로써 형식화된다. 이러한 지표들은 의사결정자가 설정하지만 객관적인 성격을 가지며, 이는 해결하려는 문제의 내용에 의해 결정되고, 대안의 특성을 측정하는 변수에 의존하는 함수로 표현된다. 이러한 경우, 의사결정자에게 가장 선호되는 선택 문제의 해는 이른바 최적 대안으로 간주되는데, 이는 현재의 조건에서 하나 이상의 효율성 지표의 극값에 해당하는 대안이다.
최적 선택 문제를 공식화하는 데 있어 핵심적인 사항은 문제 상황과 의사결정자의 선호를 정량적 형태로 기술할 수 있는가 하는 점이다. 이는 첫째, 가능한 해의 대안(선택지, 객체, 행동 방식)이 수치적 척도로 측정되는 정량적 특성(변수, 매개변수, 속성)에 의해 정의된다는 것을 의미한다. 둘째, 선택된 대안의 품질을 평가하는 정량적 지표(최적성 기준, 효율성 지표, 목적 함수, 가치 함수)가 설정되어야 한다. 이러한 상황은 운용 과학 및 최적 제어에 전형적인, 구조가 명확한 문제와 반복적인 선택 상황에서 나타난다.
문제 해결의 가능한 대안(목표 달성 방법)을 분석하고 그 중에서 하나 이상의 최선의 대안을 선택하기 위해 최적 선택의 형식적 모델이 구축된다. 모델은 실제 문제를 단순화하여 표현하며, 대안들, 그것들을 기술하는 특성들, 그리고 제어 가능 및 제어 불가능 요인에 의해 설정되는 제약들 사이의 가장 중요하고 객관적으로 존재하는 의존 관계와 연결을 반영해야 한다. 이러한 모델의 구축은 의사결정자의 참여 하에 컨설턴트-분석가와 전문가들의 과제이다. 선택 모델을 구축할 때는 모델의 적절성과 상세함을 실제 선택 문제에서 요구되는 해의 정확도, 그리고 해를 탐색하는 데 필요한 정보의 양(현재 보유한 정보와 추가로 얻는 정보 모두)과 균형 있게 고려해야 한다.
최적화 접근법의 한계
최적화 문제는 엄밀한 형식적 수학 문제이다. 이러한 문제의 해가 갖는 실용적 가치는 초기 수학적 모델의 품질에 직접적으로 의존한다. 복잡한 시스템에서 수학적 모델링은 어렵고 근사적이며 부정확하다. 시스템이 복잡할수록 그 최적화에 더욱 신중해야 한다.
시스템 분석의 관점에서 최적화에 대한 태도는 다음과 같이 표현할 수 있다: 이는 효율성을 높이는 강력한 수단이지만, 문제의 복잡성이 증가할수록 점점 더 신중하게 사용해야 한다.
최적화 개념의 명백한 유용성에도 불구하고, 실무는 이를 신중하게 다룰 필요가 있음을 요구한다. 이러한 결론에는 상당히 타당한 근거가 있다.
- 최적 해는 종종 불안정한 것으로 판명된다. 즉, 문제의 조건에서 얼핏 사소해 보이는 변화도 본질적으로 다른 대안의 선택으로 이어질 수 있다.
- 고려 대상 시스템은 더 큰 시스템의 일부이며, 이 경우 국소적 최적화가 반드시 전체 시스템의 최적화 시 하위 시스템에 요구되는 결과와 일치하지는 않는다. 이로 인해 하위 시스템의 기준을 시스템 전체의 기준과 연계시킬 필요성이 생기며, 이는 종종 국소적 최적화를 불필요하게 만든다.
- 기준은 목표를 단지 간접적으로만, 때로는 더 잘, 때로는 덜 잘 표현하지만 항상 근사적으로만 나타낸다. 최적성 기준의 최대화는 종종 목표와 동일시되지만, 실제로는 서로 다른 것이다. 사실 기준과 목표는 모델과 원본의 관계와 같으며, 이에 따른 모든 특성을 수반한다. 많은 목표는 정량적으로 기술하기 어렵거나 심지어 불가능하다.
- 필요한 모든 제약 조건을 설정하지 않으면, 주요 기준을 최대화하는 동시에 예상치 못한 바람직하지 않은 부작용이 발생할 수 있다.
참고 문헌
- Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. — М.: Наука, 1988. (Или более позднее издание)
- Taha, Hamdy A. Operations Research: An Introduction. — Pearson. (Указать издание, например, 10th ed., 2017)
- Hillier, Frederick S.; Lieberman, Gerald J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education.