Operations research models — 运筹学模型

运筹学模型

运筹学 (OR)使用模型来分析和解决管理和决策问题。在运筹学中，模型是真实运作或系统的简化、形式化表示，旨在研究其行为并寻找最优解决方案。

要应用运筹学的定量方法，需要建立运作的数学模型。在构建模型时，通常会对运作进行简化和模式化，并用某种数学工具来描述这个模式。运作的模型是借助数学工具（各类函数、方程、方程组和不等式）对运作的足够精确的描述。运作的有效性被定义为其完成任务的适应程度。

运筹学中问题的一般提法与模型结构

在运筹学中，管理情境包括目标和决策。决策是为了实现目标而做出的。管理情境通过模型来描述。

模型包含一个明确的有效性指标，用以衡量决策与目标的接近程度。该指标取决于影响运作的因素。描述运作的所有因素可分为两类：

• 不可控（固定）因素：决策者无法影响的外部条件或系统参数（例如，市场需求、原材料价格、天气）。
• 可控（可管理）因素：决策者可以选择和改变的运作参数（例如，产量、运输路线、资源分配）。这些因素也称为决策变量。

从概念上讲，运筹学模型可以表示为一个“黑箱”，其主要关注点在于定义输入和输出：

• 输入：可控和不可控变量（因素）。
• 模型：描述输入和输出之间相互关系的数学工具（函数、方程、不等式）。
• 输出：有效性准则（目标函数）。

用某个函数表示的有效性准则被称为目标函数。目标函数是一个数学上表述（形式化）的有效性指标，需要将其最大化或最小化。

模型的数学定义

在运筹学中，数学模型被理解为任何一种算子，它允许根据输入参数的相应值，在建模对象的输入和输出参数的允许值集合范围内，确定其输出参数的值。

典型的运筹学数学模型

大多数运筹学问题都可归结为优化问题，并可表述为以下数学模型：

在满足约束条件的前提下，最大化（或最小化）目标函数。

• 目标函数：量化地表达了用于评估解决方案的准则（例如利润、成本、时间）。选择目标函数是研究的核心和关键环节。在正确的准则下找到一个非最优解，也比在错误的准则下找到一个最优解要好。
• 约束条件：模型变量必须满足的数学表达式（等式或不等式形式）。它们反映了资源的实际限制、技术要求、计划任务和其他条件。约束条件缩小了可能解的集合。

运筹学模型中的解

• 可行解：满足模型所有约束条件的任意一组变量值。所有可行解的集合构成可行域。可行解的数量可能是无限的。
• 最优解：使目标函数达到其极值（最大值或最小值）的可行解。最优解（如果存在）总是在可行域内。
  • 在某些情况下，最优解可能不存在（例如，如果可行域为空，或者目标函数在可行域上无界）。
  • 最优解是指根据给定的优化准则优于其他解的解。
  • 最优性总是相对于准则而言的（“关于……最优”）。

运筹学模型的分类

运筹学模型可以根据不同特征进行分类，特别是根据所使用的数学工具和问题类型：

按数学结构分类

• 线性规划 (LP) 模型：目标函数和所有约束条件都是变量的线性函数。
• 整数线性规划模型：部分或全部变量必须取整数值。

• 非线性规划 (NLP) 模型：目标函数和/或约束条件是非线性函数。
• 凸规划模型：非线性规划的一种特殊情况，其中目标函数被最小化（或凹函数被最大化），且可行域是一个凸集。

• 动态规划 (DP) 模型：用于决策按时间分阶段进行的问题，其最优性准则通过递推关系表示。
• 启发式模型：当由于计算复杂度过高而无法找到精确最优解时使用。采用启发式方法来寻找“足够好”的解。

按典型运筹学问题分类

• 网络计划与管理问题：优化完成复杂工作的工期和成本（例如，关键路径法）。
• 排队问题（排队论）：分析和优化带排队的系统（确定服务通道数量、服务时间）。
• 库存管理问题：确定最优库存水平和订货批量，以在满足需求的同时最小化成本。
• 资源分配问题：在相互竞争的运作或活动之间优化分配有限的资源。
• 设备维修与更换问题：考虑到磨损和老化，确定维修或更换设备的最优时机。
• 博弈论模型：分析多方追求不同目标的冲突情况，并寻找最优策略。

参考文献

• ‘'Вентцель Е. С.’' 运筹学：问题、原理、方法论。——莫斯科：科学出版社，1988年。
• ‘'阿科夫 R., 萨西尼 M.’' 运筹学基础。——莫斯科：世界出版社，1971年。
• ‘'塔哈, 哈姆迪 A.’' 运筹学导论。——皮尔森出版社。(第10版，2017年)