Minimax regret criterion (Savage criterion) — 萨维奇准则 (Savage's Criterion)

萨维奇准则（也称为最小遗憾准则）是在不确定性条件下进行决策的方法之一。它适用于各种结果的概率未知，且目标是最小化因做出非最优决策而导致的潜在损失的情况。

概述

在不确定性条件下，每种策略选择的后果都无法精确确定。为了评估可能的备选方案，可以使用多种准则，例如瓦尔德准则、赫维茨准则、拉普拉斯准则和萨维奇准则。萨维奇准则的目标不是实现最大利润，而是最小化最大遗憾值（与最佳可能结果相比的损失）。

遗憾值是一个量，反映了在特定结果下因未选择最优策略而错失的收益。

萨维奇准则的应用算法

• 构建支付矩阵：建立一个表格，其行对应可能的策略，列对应可能发生的事件结果。在行列交叉处记录特定策略和结果下的预期收益。
• 构建遗憾矩阵（风险矩阵）：对于每个结果（列），确定最大收益值。然后，为每个单元格计算遗憾值。
• 确定每个策略的最大遗憾值：在遗憾矩阵的每一行中，选择最大值（即该策略的最坏情况）。
• 选择最优策略：选择最大遗憾值最小的策略。

因此，萨维奇准则实现了最小化因错误决策可能导致的损失的原则。

数学表述

假设给定：

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — 可用策略（备选方案）的集合。
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — 可能的自然状态的集合。
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — 选择策略 $s_i$ 且出现状态 ${\theta }_j$ 时的收益（效用）函数。通常表示为支付矩阵 $A=[a_{ij}]$，其中 $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$。

萨维奇准则基于遗憾（regret）或机会损失的概念。在自然状态为 ${\theta }_j$ 时，策略 $s_i$ 的遗憾值 $r(s_i,{\theta }_j)$ 定义为，在该自然状态 ${\theta }_j$ 下可能获得的最大收益（即选择了对该状态最优的策略）与策略 $s_i$ 的实际收益之差。

萨维奇准则的应用算法：

1. 计算遗憾矩阵（风险矩阵）：

   a) 找到每种自然状态（支付矩阵的每一列）的最大收益：

   $u_j^{*}=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }u(s_k,{\theta }_j)=\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj}$

   这是在状态 ${\theta }_j$ 发生时可能得到的最佳结果。

   b) 计算遗憾矩阵 $R=[r_{ij}]$ 的元素：

   $r_{ij}=r(s_i,{\theta }_j)=u_j^{*}-u(s_i,{\theta }_j)=(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}$

   元素 $r_{ij}$ 表示在状态 ${\theta }_j$ 下，策略 $s_i$ 的收益比可能的最大收益少多少。所有元素 $r_{ij}\ge 0$。

1. 找出每个策略的最大遗憾值： 对于每个策略 $s_i$（遗憾矩阵 $R$ 的每一行），确定其在遗憾方面的最坏可能结果：

   $r_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }((\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij})$

1. 选择具有最小最大遗憾值的策略（最小最大遗憾原则）： 选择能使已找出的最大遗憾值最小化的策略 $s_{\text{Savage}}^{*}$：

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\max }r(s_i,{\theta }_j))$

   或者，代入 $r_{ij}$ 的表达式：

   $s_{\text{Savage}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }[(\underset{k=1,\dots ,m}{\max }{a}_{kj})-a_{ij}]\right)$

使用萨维奇准则达到的最小最大遗憾值等于： $V_{\text{Savage}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }(r_i^{\max })=\underset{i=1,\dots ,m}{\min }\left(\underset{j=1,\dots ,n}{\max }{r}_{ij}\right)$

因此，萨维奇准则旨在选择一个策略，以保证相对于每种自然状态下的最佳可能行动，其损失最小。

数学表述中的关键点：

• 遗憾值 $r_{ij}$ 的定义：这是核心概念。关键在于说明它是通过列 j 中的最佳结果与当前结果 a_{ij} 的差值计算得出的。
• 遗憾矩阵 $R$：明确说明了其构建方法。
• 找到 $r_i^{\max }$：展示了在遗憾矩阵的每一行中寻找最大值的过程。
• 最小最大化原则：通过 $\arg \min$ 和 $\max$ 对遗憾值进行策略选择的原则得到了清晰的阐述。
• 使用的符号：为博弈论和决策论中的标准符号（S, Θ, u, a_ij, r_ij, max, min, arg min）。

优缺点

优点：

• 注重风险最小化。
• 在高度不确定性条件下尤其有效。

缺点：

• 忽略了预期收益，仅关注可能的损失。
• 可能导致决策过于保守。

决策准则

• 赫维茨准则
• 拉普拉斯准则
• 瓦尔德准则

Category:Decision making