Maximin criterion (Wald criterion) — معيار فالد

معيار فالد (Wald's criterion) — هو أحد الأساليب الأساسية لاتخاذ القرارات في ظل عدم اليقين. وهو يستند إلى مبدأ التشاؤم المتطرف ويهدف إلى اختيار الاستراتيجية التي تضمن أفضل نتيجة في أسوأ سيناريو ممكن.

جوهر المعيار

يفترض المعيار أن صانع القرار يركز على أسوأ نتيجة محتملة لكل استراتيجية. يتم تحديد أسوأ نتيجة ممكنة لكل بديل. ومن بين جميع الاستراتيجيات، يتم اختيار تلك التي تكون فيها هذه النتيجة الأسوأ هي الأفضل بين الجميع.

بعبارة أخرى، يهدف معيار فالد إلى تقليل الخسائر القصوى ويوفر أكبر قدر من الحماية ضد الظروف غير المواتية.

تطبيق المعيار

تتضمن عملية التطبيق الخطوات التالية:

1. لكل استراتيجية، يتم تحديد أسوأ نتيجة ممكنة.
2. تتم مقارنة أسوأ النتائج لجميع الاستراتيجيات.
3. يتم اختيار الاستراتيجية ذات أفضل نتيجة من بين أسوأ النتائج.

هذا النهج يميز الأشخاص شديدي الحذر الذين يسعون إلى تقليل المخاطر بغض النظر عن احتمالية وقوع النتائج المختلفة.

الصياغة الرياضية

لنفترض ما يلي:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — مجموعة الاستراتيجيات (البدائل) المتاحة التي يختار من بينها صانع القرار.
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — مجموعة حالات الطبيعة الممكنة (الظروف الخارجية، السيناريوهات)، التي لا تعتمد على اختيار صانع القرار.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — دالة الربح (المنفعة)، التي تمثل تقييمًا عدديًا للنتيجة عند اختيار الاستراتيجية $s_i\in S$ وحدوث حالة الطبيعة ${\theta }_j\in \mathrm{\Theta }$. غالبًا ما يتم تمثيلها في شكل مصفوفة أرباح $A=[a_{ij}]$، حيث $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

يفرض معيار فالد (أو معيار الماكسيمين maximin) الإجراءات التالية:

1. إيجاد الحد الأدنى للربح لكل استراتيجية: لكل استراتيجية $s_i$، يتم تحديد أسوأ نتيجة ممكنة لها (الحد الأدنى للربح) عبر جميع حالات الطبيعة الممكنة:

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

1. اختيار الاستراتيجية ذات القيمة القصوى من بين الحدود الدنيا للأرباح: يتم اختيار الاستراتيجية $s_{\text{Wald}}^{*}$ التي تحقق أعلى قيمة من بين الحدود الدنيا للأرباح التي تم العثور عليها:

   $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

يساوي المستوى المضمون (الأدنى) للربح عند استخدام معيار فالد: $V_{\text{Wald}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }(u_i^{\min })=\underset{s_i\in S}{\max }(\underset{{\theta }_j\in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,{\theta }_j))$

وبالتالي، يطبق معيار فالد مبدأ maximin — أي تعظيم الحد الأدنى للربح. وهو يركز على نظرة تشاؤمية، مفترضًا أنه بغض النظر عن القرار المتخذ، ستستجيب الطبيعة بأقل طريقة مواتية لصانع القرار.

ملاحظة حول دالة الخسارة

إذا تم استخدام دالة خسارة $L(s_i,{\theta }_j)$ بدلاً من دالة الربح $u(s_i,{\theta }_j)$، والتي يجب تقليلها إلى الحد الأدنى، فإن معيار فالد يتحول إلى معيار minimax للخسارة:

1. لكل استراتيجية $s_i$ يتم إيجاد أقصى قيمة للخسارة: $L_i^{\max }=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta )$
2. يتم اختيار الاستراتيجية التي تقلل هذه الخسائر القصوى: $s_{\text{Wald}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }(\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }L(s_i,\theta ))$

المزايا والعيوب

المزايا:

• بساطة ووضوح الطريقة.
• توفير درجة عالية من الأمان للقرارات في ظل عدم اليقين التام.

العيوب:

• التشاؤم المفرط: يتم تجاهل الأرباح العالية المحتملة في سبيل تقليل الخسائر.
• قد يؤدي إلى اختيار استراتيجيات متحفظة للغاية.