Mathematical modeling — النمذجة الرياضية

النمذجة الرياضية — هي منهج بحثي يتم فيه استبدال كائن أو عملية أو ظاهرة حقيقية بـنموذجها الرياضي، مما يسمح بتحليل سلوك النظام باستخدام الأساليب الرياضية.

جوهر النمذجة الرياضية

تتضمن النمذجة الرياضية ما يلي:

• صياغة الخصائص الجوهرية للكائن قيد الدراسة بشكل رسمي.
• بناء نموذج رياضي يعبر عن العلاقات بين المتغيرات.
• دراسة النموذج بالأساليب التحليلية أو العددية أو المحاكاتية.
• تفسير النتائج وتطبيقها على النظام الحقيقي.

النموذج هو دائمًا تبسيط للواقع، يعكس بشكل هادف فقط تلك الجوانب المهمة لأهداف البحث أو التصميم المحددة.

أهداف النمذجة الرياضية

تُطوَّر النماذج الرياضية للأغراض التالية:

• وصف بنية الأنظمة وخصائصها وعملها.
• شرح الظواهر المرصودة من خلال تحديد الأنماط والقوانين.
• التنبؤ بالسلوك المستقبلي للأنظمة تحت تأثيرات معينة.
• تحسين العمليات وأنظمة التحكم.
• إجراء تجارب افتراضية لا يمكن إجراؤها في الواقع أو تكون غير مرغوب فيها.

تصنيف النماذج الرياضية

• حسب طريقة الوصف: حتمية وعشوائية (احتمالية).
• حسب طبيعة الزمن: ثابتة (استاتيكية) وديناميكية.
• حسب طبيعة المتغيرات: متقطعة ومستمرة.
• حسب درجة التفصيل: عيانية (ماكروسكوبية)، مجهرية (ميكروسكوبية)، ومتوسطة (ميزوسكوبية).
• حسب الجهاز الرياضي المستخدم: تحليلية، عددية، ومحاكاتية.
• حسب الغرض: وصفية، تنبؤية، تحسينية، ومحاكاتية.
• حسب البنية: خطية وغير خطية.
• حسب منهجية البناء: ظاهراتية (تجريبية) وآلية (نظرية).

مراحل النمذجة الرياضية

بشكل عام، تكون مراحل النمذجة الرياضية كما يلي:

1. تحديد المشكلة:
   • تحديد هدف النمذجة (ماذا نريد أن نعرف أو نفعل؟).
   • وصف الكائن أو العملية وحدودها.
   • تحديد العوامل والخصائص الرئيسية التي يجب أخذها في الاعتبار.
2. بناء (أو اختيار) النموذج:
   • الصياغة الرسمية: ترجمة وصف الكائن والعلاقات إلى لغة الرياضيات (معادلات، دوال، قواعد منطقية، خوارزميات، إلخ).
   • إدخال الافتراضات والتبسيطات لتسليط الضوء على الجوانب الرئيسية.
   • تحديد معلمات النموذج وعلاقاتها.
3. دراسة النموذج:
   • حل المسألة الرياضية (تحليليًا، عدديًا، أو بالمحاكاة).
   • إجراء تجارب حسابية لدراسة سلوك النموذج في ظل ظروف مختلفة.
4. التحقق من ملاءمة (Validation) النموذج:
   • مقارنة نتائج النمذجة بالبيانات الحقيقية (التجريبية، المرصودة) أو بالحقائق المعروفة.
   • تقييم مدى جودة تمثيل النموذج للواقع بالنسبة للهدف المحدد.
5. تفسير وتطبيق النتائج:
   • تحليل البيانات التي تم الحصول عليها من النمذجة.
   • ترجمة النتائج إلى لغة المشكلة الأصلية.
   • صياغة الاستنتاجات والتنبؤات ووضع التوصيات أو اتخاذ القرارات بناءً على النموذج.

هذه العملية غالبًا ما تكون تكرارية. قد تتطلب النتائج غير المرضية في مرحلة التحقق من الملاءمة أو التفسير العودة إلى المراحل السابقة (لتدقيق صياغة المشكلة، أو تغيير الافتراضات، أو تعديل النموذج).

المنهج المبدئي

المنهج المبدئي، المستند إلى أعمال كلايف دايم (Principles of Mathematical Modeling), يقترح النظر إلى النمذجة كتسلسل من الإجابات على أسئلة رئيسية:

• Why? (لماذا؟): ما هي الحاجة للنموذج؟ يجب تحديد هدف النمذجة والمشكلة التي يُفترض أن يساعد النموذج في حلها بوضوح.
• Find? (ماذا نجد؟): ماذا نريد أن نعرف؟ ما هي المخرجات أو الخصائص أو المعلومات المحددة التي يجب أن يوفرها النموذج لتحقيق الهدف؟
• Given? (ما المعطى؟): ماذا نعرف؟ ما هي المعلومات والبيانات (التجريبية، الإحصائية) والمعرفة حول النظام والموارد المتاحة لدينا بالفعل؟
• Assume? (ما الافتراضات؟): ما هي الافتراضات التي نضعها؟ تحديد التبسيطات والمثالية والفرضيات حول سلوك النظام وحدود قابلية تطبيق النموذج. هذه الخطوة حاسمة لأنها تحدد مدى ملاءمة النموذج.
• How? (كيف؟): كيف يعمل النظام؟ تحديد القوانين الأساسية (الفيزيائية، الكيميائية، البيولوجية، الاقتصادية، إلخ) والآليات والعلاقات المتبادلة التي تحكم سلوك كائن النمذجة.
• Predict? (ماذا نتنبأ؟): ماذا سيتنبأ النموذج؟ صياغة المعادلات الرياضية والمتباينات والقواعد المنطقية أو الخوارزميات التي تشكل جوهر النموذج، وتحديد الحسابات التي سيتم إجراؤها.
• Valid? (هل هو صالح؟): إلى أي مدى تتوافق تنبؤات النموذج مع الواقع؟ مقارنة نتائج النمذجة بالبيانات الحقيقية أو الحقائق المعروفة للتحقق من ملاءمة النموذج للأهداف المحددة.
• Verified? (هل هو مفيد/مُتحقَّق منه؟): هل النموذج مفيد لتحقيق الهدف الأصلي (Why?)؟ هل النتائج التي تم الحصول عليها ودقة النموذج تلبي الحاجة الأولية؟ (في هذه المرحلة أيضًا، يمكن إجراء التحقق - التأكد من صحة العمليات الحسابية والتنفيذ البرمجي).
• Improve? (هل يمكن تحسينه؟): هل يمكن وهل يجب تحسين النموذج؟ تحديد المعلمات التي تحتاج إلى تدقيق، أو الافتراضات التي يمكن تخفيفها، أو الجوانب التي لم تؤخذ في الحسبان والتي يجب إضافتها لزيادة الدقة أو توسيع نطاق التطبيق.
• Use? (كيف نستخدمه؟): كيف نطبق النتائج؟ تفسير تنبؤات واستنتاجات النموذج لاتخاذ القرارات أو اكتساب معرفة جديدة أو التنبؤ أو التحسين أو التحكم في النظام.

المسائل المباشرة والعكسية في النمذجة الرياضية

تقليديًا، يتم تمييز فئتين رئيسيتين من المسائل المتعلقة بالنماذج الرياضية:

• المسألة المباشرة وتتمثل في دراسة نموذج ذي بنية محددة مسبقًا ومعلمات معروفة للحصول على معلومات حول سلوك الكائن.
• المسألة العكسية وتتمثل في اختيار نموذج معين أو تحديد معلماته بناءً على البيانات التجريبية أو الواقعية المتاحة.

المسألة المباشرة

الهدف من المسألة المباشرة هو الإجابة على سؤال حول استجابة النظام للتأثيرات الخارجية أو تحديد خصائصه في ظروف مختلفة، بناءً على خصائصه المعروفة. الجوانب الرئيسية لهدف المسألة المباشرة:

• دراسة سلوك الكائن بناءً على نموذج رياضي معين ببنية ومعلمات معروفة.
• الحصول على خصائص كمية أو نوعية للنظام: على سبيل المثال، تحديد الإجهادات، حقول درجات الحرارة، الاستجابات الديناميكية للأحمال، إلخ.
• التنبؤ بحالة الكائن تحت تأثيرات خارجية مختلفة (أحمال، تغييرات في ظروف البيئة، إجراءات تحكم).
• تحليل استقرار وموثوقية الأنظمة، وتحديد أوضاع عملها القصوى.
• اختبار الفرضيات حول سلوك الكائن، التي صيغت بناءً على النموذج.
• تحسين عمليات التحكم عن طريق حساب استجابات النموذج لإجراءات التحكم.
• تقييم حساسية الحلول للتغيرات في الشروط الأولية ومعلمات النموذج.

المسألة العكسية

الهدف من المسألة العكسية هو تحديد بنية النموذج أو معلماته بناءً على البيانات المتاحة حول سلوك النظام الحقيقي.

الجوانب الرئيسية لهدف المسألة العكسية:

• إيجاد معلمات النموذج غير المعروفة (على سبيل المثال، معاملات المرونة، التوصيل الحراري، المقاومة، إلخ).
• تحديد البنية الخفية للعمليات بناءً على بيانات المخرجات المرصودة.
• بناء أو تصحيح نموذج رياضي بحيث يتوافق سلوكه مع البيانات التجريبية أو الواقعية.
• تطوير طرق ملائمة لمعالجة وتفسير بيانات المراقبة والتجارب.

التحقق (Verification) والتحقق من الصحة (Validation)

بعد بناء نموذج رياضي والحصول على تنفيذه البرمجي أو الخوارزمي، تعد خطوة تقييم صحته وقابليته للتطبيق أمرًا بالغ الأهمية. لهذا الغرض، تُستخدم عمليتان مترابطتان ولكنهما مختلفتان: التحقق (Verification) والتحقق من الصحة (Validation).

• التحقق (Verification):
  • السؤال: هل نقوم بتنفيذ (بناء) النموذج بشكل صحيح؟
  • المعنى: التحقق من أن التنفيذ البرمجي أو الخوارزمية الحسابية للنموذج تتوافق تمامًا مع صياغتها الرياضية ووصفها المفاهيمي. بعبارة أخرى، يتأكد التحقق من أن المعادلات تُحل بشكل صحيح وأن الخوارزمية تعمل دون أخطاء وفقًا للمنطق المحدد.
  • الأساليب: تحليل ومراجعة الكود، الاختبار باستخدام حلول تحليلية معروفة (إن وجدت)، المقارنة بنتائج برامج أخرى موثوقة، التحقق من الاستقرار العددي وتقارب الخوارزميات.
• التحقق من الصحة (Validation):
  • السؤال: هل بنينا النموذج الصحيح؟
  • المعنى: تحديد درجة توافق النموذج مع الكائن الحقيقي أو العملية أو الظاهرة التي يهدف إلى وصفها، فيما يتعلق بأهداف النمذجة. يجيب التحقق من الصحة على سؤال إلى أي مدى يعكس النموذج جوانب الواقع التي تهمنا.
  • الأساليب: مقارنة نتائج النمذجة بالبيانات التجريبية، بيانات المراقبة للنظام الحقيقي، البيانات الإحصائية، الحقائق المعروفة أو نتائج نماذج أخرى أثبتت جدواها. تقييم حساسية النموذج لتغير المعلمات.

الفرق الرئيسي:

• التحقق (Verification) يقارن تنفيذ النموذج بـمواصفاته (الوصف الرياضي).
• التحقق من الصحة (Validation) يقارن النموذج (ككل) بـالواقع.

يمكن أن يكون لدينا نموذج صحيح رياضيًا ولكنه غير ملائم للعملية الحقيقية (تم التحقق منه، ولكن لم يتم التحقق من صحته)، أو نموذج تم تصميمه ليكون ملائمًا ولكنه نُفِّذ بأخطاء (لم يتم التحقق منه).

تُعد عمليتا التحقق والتحقق من الصحة جزءًا لا يتجزأ من عملية النمذجة الرياضية. فهما تضمنان الثقة في نتائج النمذجة وتسمحان بتقييم حدود قابلية تطبيق النموذج. وبدونهما، قد يكون استخدام النموذج للتنبؤ أو التحسين أو اتخاذ القرارات غير صحيح.

القيود والافتراضات

أي نموذج رياضي هو تجريد — تبسيط هادف للواقع قيد الدراسة. إنه يعتمد على عدد من الافتراضات، ومثل أي خريطة، فهو ليس المنطقة نفسها، بل مجرد وصف لها لأغراض محددة. وهذا يفرض القيود التالية:

1. عدم الاكتمال: يأخذ النموذج في الاعتبار فقط العوامل والعلاقات الجوهرية (من وجهة نظر هدف البحث والافتراضات الموضوعة)، متجاهلاً عن قصد تفاصيل أخرى لتبسيط التحليل.
2. الاعتماد على الافتراضات: تعتمد صحة النموذج ودقته ونطاق تطبيقه بشكل مباشر على مدى وجاهة الافتراضات الموضوعة. الافتراضات غير الصحيحة أو المنتهكة تؤدي إلى نتائج غير دقيقة أو خاطئة.
3. نطاق تطبيق محدود: يصف النموذج الواقع بشكل ملائم فقط في ظروف معينة (تتوافق مع الافتراضات) ولحل مجموعة محددة من المسائل التي أُنشئ من أجلها وتم التحقق منها. الاستقراء خارج هذه الحدود غير صحيح.
4. هامش الخطأ: نتيجة للتبسيطات، تحتوي نتائج النمذجة دائمًا على هامش خطأ معين مقارنة بالسلوك الحقيقي للكائن.
5. الحاجة إلى التحقق من الصحة (Validation): بما أن النموذج هو تبسيط، فإن ملاءمته تتطلب دائمًا التحقق (validation) بناءً على بيانات حقيقية (تجريبية أو مرصودة).
6. الحساسية: قد تكون نتائج النمذجة حساسة للتغيرات في بيانات الإدخال ومعلمات النموذج والافتراضات الموضوعة، مما يتطلب غالبًا إجراء تحليل للحساسية.

أمثلة على التطبيقات

• في الفيزياء: نمذجة التوصيل الحراري، ديناميكا الموائع، العمليات الكهرومغناطيسية.
• في الهندسة: حساب متانة الهياكل، تحسين العمليات التكنولوجية.
• في علم الأحياء: نمذجة ديناميكيات السكان وانتشار الأمراض.
• في الاقتصاد: بناء نماذج الاقتصاد الكلي ونماذج التحكم الأمثل.
• في علم الاجتماع: نمذجة عمليات الهجرة والديناميكيات الاجتماعية.

المراجع

• Введение в математическое моделирование / Под ред. П.В. Трусова. — М.: Университетская книга, Логос, 2007.
• Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. Моисеев Н.Н. — М.: Наука, 1981.
• Математическое моделирование. Галанин М.П., Галанина Е.М., Сергеев А.В., Шалаева А.К. . — М.: ЛКИ, 2022.
• Principles of Mathematical Modeling Dym, C.L. (2004)

علاقتها بمفاهيم أخرى

• Математическая модель
• Модель системы
• Процесс моделирования
• Формализация моделей систем
• Моделирование
• Исследование операций