Hurwiczovo kritérium

Hurwitzovo kritérium — jedna z metod rozhodování v podmínkách nejistoty, která nabízí vyvážený přístup mezi krajním optimismem a krajním pesimismem.

Podstata kritéria

Při výběru strategie v situaci, kdy výsledek událostí není znám, Hurwitzovo kritérium navrhuje zohledňovat současně:

• nejhorší možný výsledek (pesimistický přístup),
• nejlepší možný výsledek (optimistický přístup).

K tomu se používá speciální parametr — koeficient optimismu, který nabývá hodnot od nuly do jedné. Čím blíže je koeficient k jedné, tím větší pozornost je věnována nejlepším výsledkům; čím blíže je k nule, tím více jsou zohledňovány nejhorší možné výsledky.

Matematická formulace

Nechť jsou zadány:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — množina dostupných strategií (alternativ).
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — množina možných stavů přírody.
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — funkce výhry (užitku) při výběru strategie $s_i$ a nastání stavu ${\theta }_j$. Často je reprezentována platební maticí $A=[a_{ij}]$, kde $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$.

Hurwitzovo kritérium zavádí koeficient optimismu $\alpha$ (alfa), který volí osoba přijímající rozhodnutí (OPR), v rozsahu $0\le \alpha \le 1$. Tento koeficient odráží míru optimismu OPR:

• $\alpha =1$ odpovídá úplnému optimismu (zohledňuje se pouze nejlepší možný výsledek).
• $\alpha =0$ odpovídá úplnému pesimismu (zohledňuje se pouze nejhorší možný výsledek, kritérium se redukuje na Waldovo kritérium).
• Hodnotu $(1-\alpha )$ lze interpretovat jako koeficient pesimismu.

Postup aplikace Hurwitzova kritéria:

1. Nalezení minimálního a maximálního výnosu pro každou strategii: Pro každou strategii $s_i\in S$ se určují:

   **Nejhorší výsledek (minimální výnos):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **Nejlepší výsledek (maximální výnos):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. Výpočet hodnoty Hurwitzova kritéria pro každou strategii: Pro každou strategii $s_i$ se vypočítá vážená hodnota kombinující nejlepší a nejhorší výsledky s ohledem na koeficient optimismu $\alpha$:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   Tato hodnota představuje očekávaný výnos strategie $s_i$ podle preferencí OPR vyjádřených prostřednictvím $\alpha$.

1. Výběr optimální strategie: Vybírá se ta strategie $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$, která maximalizuje vypočtenou hodnotu Hurwitzova kritéria:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

Optimální hodnota Hurwitzova kritéria (garantovaná úroveň s ohledem na optimismus $\alpha$) je rovna: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

Poznámka k funkci ztrát

Pokud se používá funkce ztrát $L(s_i,{\theta }_j)$, kterou je třeba minimalizovat, pak se Hurwitzovo kritérium aplikuje pro minimalizaci vážené kombinace nejlepšího (minimální ztráty) a nejhoršího (maximální ztráty) výsledku:

1. Pro každou strategii $s_i$ se nalézají minimální $L_i^{\min }$ a maximální $L_i^{\max }$ ztráty.
2. Vypočítá se hodnota: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. Vybírá se strategie minimalizující tuto hodnotu: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

Zde $\alpha$ je stále koeficient optimismu: při $\alpha =1$ se OPR zaměřuje na minimalizaci minimálních ztrát (optimisticky doufá v nejlepší výsledek), při $\alpha =0$ — na minimalizaci maximálních ztrát (pesimisticky se připravuje na nejhorší).

Použití kritéria

Proces aplikace Hurwitzova kritéria zahrnuje následující kroky:

1. Určí se minimální a maximální výsledek pro každou možnou strategii.
2. Pro každou strategii se vypočítá výsledné hodnocení, které představuje váženou hodnotu mezi jejím nejhorším a nejlepším výsledkem v závislosti na zvolené úrovni optimismu.
3. Vybírá se ta strategie, jejíž výsledné hodnocení je maximální.

Osoba přijímající rozhodnutí tak volí strategii, která nejlépe zohledňuje její vlastní postoj k riziku a nejistotě.

Výhody a nevýhody

Výhody:

• Umožňuje přizpůsobit proces výběru v závislosti na povaze a preferencích osoby přijímající rozhodnutí.
• Zohledňuje jak riziko, tak potenciální přínosy.

Nevýhody:

• Vyžaduje subjektivní volbu koeficientu optimismu, což může ovlivnit objektivitu rozhodnutí.