Hurwicz criterion — हर्विच मानदंड

हर्विट्ज़ का मानदंड — अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने की एक विधि है, जो अत्यधिक आशावाद और अत्यधिक निराशावाद के बीच एक संतुलित दृष्टिकोण प्रस्तुत करती है।

मानदंड का सार

जब घटनाओं का परिणाम अज्ञात हो और किसी रणनीति का चुनाव करना हो, तो हर्विट्ज़ का मानदंड एक साथ निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखने का सुझाव देता है:

• सबसे बुरा संभावित परिणाम (निराशावादी दृष्टिकोण),
• सबसे अच्छा संभावित परिणाम (आशावादी दृष्टिकोण)।

इसके लिए एक विशेष प्राचल का उपयोग किया जाता है — आशावाद गुणांक, जो शून्य से एक के बीच का मान लेता है। गुणांक जितना अधिक एक के निकट होगा, सर्वोत्तम परिणामों पर उतना अधिक ध्यान दिया जाएगा; जितना अधिक वह शून्य के निकट होगा, उतना अधिक सबसे बुरे संभावित परिणामों को ध्यान में रखा जाएगा।

गणितीय सूत्रीकरण

मान लीजिए कि दिया गया है:

• $S=\{s_1,s_2,\dots ,s_m\}$ — उपलब्ध रणनीतियों (विकल्पों) का समुच्चय।
• $\mathrm{\Theta }=\{{\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_n\}$ — प्रकृति की संभावित अवस्थाओं का समुच्चय।
• $u(s_i,{\theta }_j)$ — रणनीति $s_i$ चुनने और अवस्था ${\theta }_j$ के घटित होने पर लाभ (उपयोगिता) का फलन। इसे प्रायः भुगतान मैट्रिक्स $A=[a_{ij}]$ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जहाँ $a_{ij}=u(s_i,{\theta }_j)$।

हर्विट्ज़ का मानदंड आशावाद गुणांक $\alpha$ (अल्फा) प्रस्तुत करता है, जिसे निर्णय लेने वाला व्यक्ति (ЛПР) $0\le \alpha \le 1$ की सीमा में चुनता है। यह गुणांक निर्णय लेने वाले व्यक्ति के आशावाद की मात्रा को दर्शाता है:

• $\alpha =1$ पूर्ण आशावाद के अनुरूप है (केवल सर्वोत्तम संभावित परिणाम को ध्यान में रखा जाता है)।
• $\alpha =0$ पूर्ण निराशावाद के अनुरूप है (केवल सबसे बुरे संभावित परिणाम को ध्यान में रखा जाता है; मानदंड वाल्ड के मानदंड तक सीमित हो जाता है)।
• मान $(1-\alpha )$ को निराशावाद गुणांक के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है।

हर्विट्ज़ के मानदंड को लागू करने की प्रक्रिया:

1. प्रत्येक रणनीति के लिए न्यूनतम और अधिकतम लाभ ज्ञात करना: प्रत्येक रणनीति $s_i\in S$ के लिए निर्धारित किया जाता है:

   **सबसे बुरा परिणाम (न्यूनतम लाभ):**

   $u_i^{\min }=\underset{j=1,\dots ,n}{\min }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )$

   **सर्वोत्तम परिणाम (अधिकतम लाभ):**

   $u_i^{\max }=\underset{j=1,\dots ,n}{\max }u(s_i,{\theta }_j)=\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta )$

1. प्रत्येक रणनीति के लिए हर्विट्ज़ मानदंड के मान की गणना: प्रत्येक रणनीति $s_i$ के लिए एक भारित मान की गणना की जाती है, जो आशावाद गुणांक $\alpha$ को ध्यान में रखते हुए सर्वोत्तम और सबसे बुरे परिणामों को संयोजित करता है:

   $H(s_i,\alpha )=\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min }$

   यह मान रणनीति $s_i$ का अपेक्षित लाभ दर्शाता है, जो $\alpha$ के माध्यम से व्यक्त निर्णय लेने वाले व्यक्ति की प्राथमिकताओं के अनुसार है।

1. इष्टतम रणनीति का चुनाव: वह रणनीति $s_{\text{Hurwicz}}^{*}$ चुनी जाती है जो हर्विट्ज़ मानदंड के परिकलित मान को अधिकतम करती है:

   $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\arg \underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot u_i^{\max }+(1-\alpha )\cdot u_i^{\min })$

हर्विट्ज़ मानदंड का इष्टतम मान (आशावाद $\alpha$ को ध्यान में रखते हुए गारंटीकृत स्तर) बराबर है: $V_{\text{Hurwicz}}=\underset{i=1,\dots ,m}{\max }H(s_i,\alpha )=\underset{s_i\in S}{\max }(\alpha \cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\max }u(s_i,\theta ))+(1-\alpha )\cdot (\underset{\theta \in \mathrm{\Theta }}{\min }u(s_i,\theta )))$

हानि फलन के बारे में टिप्पणी

यदि हानि फलन $L(s_i,{\theta }_j)$ का उपयोग किया जाता है, जिसे न्यूनतम करना है, तो हर्विट्ज़ का मानदंड सर्वोत्तम (न्यूनतम हानि) और सबसे बुरे (अधिकतम हानि) परिणामों के भारित संयोजन को न्यूनतम करने के लिए लागू किया जाता है:

1. प्रत्येक रणनीति $s_i$ के लिए न्यूनतम $L_i^{\min }$ और अधिकतम $L_i^{\max }$ हानियाँ ज्ञात की जाती हैं।
2. मान की गणना की जाती है: $H_L(s_i,\alpha )=\alpha \cdot L_i^{\min }+(1-\alpha )\cdot L_i^{\max }$
3. वह रणनीति चुनी जाती है जो इस मान को न्यूनतम करती है: $s_{\text{Hurwicz}}^{*}=\arg \underset{s_i\in S}{\min }{H}_L(s_i,\alpha )$

यहाँ $\alpha$ पहले की तरह ही आशावाद गुणांक है: जब $\alpha =1$ हो, तो निर्णय लेने वाला व्यक्ति न्यूनतम हानियों को कम करने पर ध्यान केंद्रित करता है (आशावादी रूप से सर्वोत्तम परिणाम की उम्मीद करता है), जब $\alpha =0$ हो — तो अधिकतम हानियों को कम करने पर (निराशावादी रूप से सबसे बुरे के लिए तैयार रहता है)।

मानदंड का अनुप्रयोग

हर्विट्ज़ मानदंड को लागू करने की प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. प्रत्येक संभावित रणनीति के लिए न्यूनतम और अधिकतम परिणाम निर्धारित किए जाते हैं।
2. प्रत्येक रणनीति के लिए एक अंतिम मूल्यांकन की गणना की जाती है, जो चुने गए आशावाद के स्तर के आधार पर उसके सबसे बुरे और सर्वोत्तम परिणामों के बीच एक भारित मान होता है।
3. वह रणनीति चुनी जाती है जिसका अंतिम मूल्यांकन सबसे अधिक हो।

इस प्रकार, निर्णय लेने वाला व्यक्ति वह रणनीति चुनता है जो जोखिम और अनिश्चितता के प्रति उसके अपने दृष्टिकोण को सर्वोत्तम रूप से ध्यान में रखती है।

लाभ और हानियाँ

लाभ:

• निर्णय लेने वाले व्यक्ति की प्रकृति और प्राथमिकताओं के अनुसार चयन प्रक्रिया को अनुकूलित करने की अनुमति देता है।
• जोखिम और संभावित लाभ दोनों को ध्यान में रखता है।

हानियाँ:

• आशावाद गुणांक के व्यक्तिपरक चुनाव की आवश्यकता होती है, जो निर्णय की वस्तुनिष्ठता को प्रभावित कर सकती है।