Constraints — 制約
制約（せいやく）とは、システムの可能な状態、解、または行動の集合を制限する条件、規則、または要因のことです。制約は、物理的、経済的、論理的、法的、社会的、その他の性質を持つことがあり、モデリング、計画、管理、意思決定において重要な役割を果たします。
- システム分析において — 制約はシステムまたはその構成要素の振る舞いの境界を定めます。
- 経済学において — これはリソースの制約（資金、時間、労働力など）です。
- 法学において — これは法令によって定められた許容される行動の枠組みです。
- オペレーションズ・リサーチにおいて — これは実行可能領域を定義する数式です。
オペレーションズ・リサーチ問題における制約
制約は、オペレーションズ・リサーチの問題における重要な要素の一つであり、数理モデルの枠組み内で解の許容性を定義します。解の最適性は、設定された制約への適合を必須条件として決定されます。
制約は、モデルの変数が満たすべき等式または不等式の形をした数式で表されます。制約は、許容解の集合を狭めます。場合によっては、与えられた制約システムの下では最適解が存在しないこともあります。
制約は、現実の条件を形式的に記述するために使用され、以下のようなものが含まれます：
- 割当量および基準
- 輸送手段の積載量
- 計画タスクの量
- 設備の重量または寸法特性
- 利用可能なリソースに関する制約（物質的、時間的、資金的など）
制約の構成を変更すると、最適解が変わる可能性があります。現実には、制約は物理的、経済的、技術的、または政治的な性質を持つことがあり、常に厳密に形式化できるとは限りません。
特定の解は、与えられたモデルの枠組み内で、かつ特定の制約システムが存在する場合にのみ最良と見なされます。モデルが現実の状況をより正確に反映するほど、見つかった解は真の最適値に近づきます。
数理制約の種類
数理モデリング、特に最適化とオペレーションズ・リサーチにおいて、制約は通常、以下の形式で表されます。
- 不等式制約: 変数のある組み合わせに対して上限または下限を設定します。これは、特定の値（例えば、リソースの消費量）が所定の限度を超えてはならない、あるいは逆に、ある閾値以上でなければならないことを示します。
- 等式制約: 変数のある組み合わせが、指定された値と厳密に等しいことを要求します。これはしばしば、バランス関係（例えば、生産量が計画と正確に一致しなければならない）や技術的要件を記述するために使用されます。
- 変数の符号制約: 変数自体の許容値の範囲を指定します。最も一般的なのは非負制約であり、変数の値がゼロ未満になることはないことを意味します。これは、多くの物理的または経済的な量（例えば、生産量、リソースの量、時間）が負の値を取れないという事実に即しています。
実行可能領域の定義における制約の役割
問題のすべての制約の集合は、実行可能領域（Feasible Region）を定義します。これは、与えられた条件を満たすすべての代替案が存在する変数空間の部分集合です。最適解の探索は、この実行可能領域内で行われます。実行可能領域が空である場合（つまり、すべての制約を同時に満たす変数の組み合わせが一つも存在しない場合）、その問題には解がありません。
有効な制約と無効な制約
最適解の点において：
- 有効な制約（Active constraint） — 不等式制約が厳密な等式として成立している（つまり「ぎりぎり」の状態）ものです。これは目的関数の最適値に直接影響を与え、この制約を緩和すれば結果が改善される可能性があります。
- 無効な制約（Inactive constraint） — 不等式制約が厳密な不等号で成立している（つまり「余裕がある」状態）ものです。このような制約のわずかな変更は、通常、最適解に影響を与えません。
制約の有効性の分析は、モデルの感度分析にとって重要です。
参考文献
- Ventsel E. S. 『オペレーションズ・リサーチ：課題、原理、方法論』モスクワ：ナウカ出版社、1988年。
- Ackoff R. L., Sasieni M. W. 『オペレーションズ・リサーチの基礎』モスクワ：ミール出版社、1971年。
- Hillier F. S., Lieberman G. J. Introduction to Operations Research. — McGraw-Hill Education, 2021. (11th ed.)
- Volkova V. N., Denisov A. A. 『システム理論とシステム分析：大学向け教科書』モスクワ：ユライト出版社、2025年。